线性代数第二章

1、第二章 矩阵及其运算,1 矩阵,一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换,例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.,B,A,C,D,城市间的航班图情况常用表格来表示:,一、矩阵概念的引入,为了便于计算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：,A B C D,A B C D,这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.,其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量,例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为。

2、11.1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算定义定义 设与是两个矩阵，nmijaAqpijbB若它们满足 （1）m=p 且 n=q， （2）= 其中。ijaijbnjmi, 2 , 1;, 2 , 1LL 则称 A 与 B 相等相等，记为 A=B。定义定义 设 令, ,nmijnmijbBaAnmijijbaC称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的和和，记为 。BAC 定义定义 设 是矩阵，k 是数，令nmijaAnmijkaB称矩阵 B 为数 k 与矩阵 A 的数量积数量积，记为 B= k A。称为 A 的负矩阵负矩阵，记为 。A) 1(A2规定：，称为 A 与 B 的差差.)( BABA 例例 设 A = ，B = 014221 028642计算 2A- -Bn 阶方阵阶方阵：行数与列数均为 n 。

3、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.,例如,2、 矩阵加法的运算规律,1、定义,二、数与矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中,例,设,例2,故,解,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,注意 矩阵不满足交换律，即：,例 设,。

4、华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学演示,第一章 矩阵与线性方程,第三章 向量的内积与正交矩真,第五章 二次型,第七章 Matlab 软件的应用,第二章 向量与线性方程组,第六章 线性空间与线性变换,第四章 矩阵的特征与特征向量,第五章 二次型,1 二次型的标准形,3 正定二次型,2 二次型的规范形,二次型的标准形,第一节,二次型和它的矩阵,定义,叫做二次型。,二次型 f,对称矩阵 A,对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩,显然A是对称矩阵，,这表明对称矩阵A是二次型,的矩阵。,只含有平方项的二次型叫做标准形,解,（秩不变）,二次型的标。

5、华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学演示,第一章 矩阵与线性方程,第三章 向量的内积与正交矩真,第五章 二次型,第七章 Matlab 软件的应用,第二章 向量与线性方程组,第六章 线性空间与线性变换,第四章 矩阵的特征与特征向量,第五章 二次型,1 二次型的标准形,3 正定二次型,2 二次型的规范形,二次型的标准形,第一节,二次型和它的矩阵,定义,叫做二次型。,二次型 f,对称矩阵 A,对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩,显然A是对称矩阵，,这表明对称矩阵A是二次型,的矩阵。,只含有平方项的二次型叫做标准形,解,（秩不变）,二次型的标。

6、第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示, 5.2 5.3,二次型的系统研究是从 18 世纪开始的 起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论,主要内容： 一、二次型及其矩阵表示 二、标准形的定义,二次型化为标准形 三、矩阵合同的定义,一. 二次型(quadratic form)的定义,第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,n元实二次型,第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2,=,此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A对应的二次型.,对矩阵A的秩叫做二次型f的秩., ,第五章 二次型,5.1 二次型及其矩阵表示,二次型与它的矩阵是一一对应的。

7、2.3 逆矩阵,上页,下页,返回,首页,结束,铃,引例从X(x1 x2 xn)T到Y(y1 y2 yn)T的线性变换可以记作 YAX 其中A是n阶矩阵 如果线性变换YAX存在逆变换XBY 则有恒等变换 XBYBAX和YAXABY 因此应有ABBAE,补充例题,逆矩阵的定义对于n阶矩阵A 如果存在n阶矩阵B 使得 ABBAE 则称矩阵A是可逆的 并称B为A的逆矩阵 简称逆阵,逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的 那么A的逆阵是唯一的,A的逆阵记为A1 即若ABBAE 则BA1,所以逆阵是唯一的,即BB1,EB1B1,(AB)B1,B(AB1),于是,AB1B1AE,ABBAE,BBE,这是因为 如果B和B1都是A的逆矩阵 则有,下页,定理1 若矩阵A可逆 则|A|0,。

8、矩阵的加法矩阵的加法主要内容主要内容数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵的乘法矩阵的乘法方阵的幂方阵的幂第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的转置矩阵的转置方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵矩阵矩阵乘积的意义矩阵矩阵乘积的意义1 1. . 定义定义定义定义 2 2 设设 A A = (= (a aij ij) )m m n n 与与 B B = (= (b bij ij) )m m n n 是两是两A A - - B B = = A A + ( + (- -B B) .) .阵阵. . 显然有显然有 A A + ( + (- -A A) = ) = O O. . 由此可定义矩阵的由此可定义矩阵的差差为为若记若记 - - A A = ( = ( - -a aij ij) ,。

9、第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二。

10、第二章 线性方程组,第一节 消元法,第二节 n维向量,第三节 向量组的秩,第四节 矩阵的秩,第五节 线性方程组解的一般理论,一、引例,某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案， 给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图,300,300,300,100,100,500,600,400,A,B,C,D,x1,x2,x3,x4,图2.1,第一节 消元法,其中每一路段的车流量数（单位：辆/小时）及其方向,分别用一个数及箭头表示,四个路段的待定车流量数 ，,表示所考虑的,表示四个十字路口,为了使四个路口不发生车辆拥堵现象，必须保持每个路,口进出的车辆数平衡于是我们可以得到线性。

11、习题2,计算下列各式:,证明:由题可知:,所以,已知线性变换,求从变量,到,的线性变换.,由此可得,将下列矩阵化为行最简形:,已知,解:,计算下列各式:,解:,证明:(1) 两个同阶的上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵; (2) 对于任意矩阵A, AAT和ATA均为对称矩阵; (3) 设A,B是同阶对称矩阵, 则AB也是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换, 即AB=BA.,用逆矩阵定义求下列方阵的逆阵 .,用矩阵乘法 解以下矩阵方程:,设方阵A满足关系式 , 试证A及A+2E均可逆,求出逆阵.,判别下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.,利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵:,解矩阵方程,求。

12、第2章 矩阵的初等变换与线性方程组,2.1 矩阵的初等变换,2.2 初等矩阵,2.3 矩阵的秩,2.4 线性方程组的解,2.1 矩阵的初等变换,2.1.1 矩阵的初等变换,例2.1 用消元法解线性方程组,解 首先由矩阵的乘法可知，方程组可以写成矩阵乘积形式,并且该方程组解的情况完全由它的増广矩阵决定。,把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程 放在一起做对比,増广矩阵,（1）把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2倍，把第三 个方程加上第一个方程的-1倍，得,（2）交换上面方程组中第二与第三个方程的位置，得,（3）把上面方程组中的第三个方程。

13、习题2 计算下列各式:证明:由题可知:所以已知线性变换求从变量到的线性变换.由此可得将下列矩阵化为行最简形:已知解:计算下列各式:解:证明:(1) 两个同阶的上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵; (2) 对于任意矩阵A, AAT和ATA均为对称矩阵; (3) 设A,B是同阶对称矩阵, 则AB也 是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换, 即AB=BA.用逆矩阵定义求下列方阵的逆阵 .用矩阵乘法 解以下矩阵方程:设方阵A满足关系式 , 试证A及A+2E均可逆,求出逆阵 . 判别下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵:解矩阵方程求下列矩阵的秩,并求。

14、,第二章 矩阵,1矩阵的概念； 2矩阵的代数运算； 3矩阵的初等变换； 4矩阵的求逆运算； 5分块矩阵。,一. 矩阵的概念,1.矩阵的定义 方程组,系数排成一个矩形数表,这就是 矩阵,由mn个数按一定的 次序排成的m行n列的 矩形数表称为mn矩 阵,简称矩阵.,横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列,称为矩阵的第i行j列的元素.,元素为实数的称为实矩 阵,我们只讨论实矩阵.,矩。

15、线性代数,主讲教师兰星,全国高等教育自学考试 线性代数 兰 星,引例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.,B,A,C,D,城市间的航班图。

16、引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,种放法.,共有,一、全排列,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,1.由1,2,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称为一个n级排列。,如：12345，54321，43512均为5级排列,2.123(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。,在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,1. 定义,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不。