单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去,金融数学教研室,第三章 线 性 方程组,向量组的秩,1.极大无关组,若向量组 中，有一个含,个向量的部分组 线性无关，,而任意 个向量构成的部分组均线性相关，,则称为向量组的一个极大线性,无关组,简称,极大无关组,定义:,例如向量组,显然是它的一个极大无关组,也是一个极大无关组.,向量组的所有极大无关组所含向量个数相同,是一个极大无关组,极大无关组的等价定义,定义,设向量组 是向量组,的一个部分组，且满足：,(i)向量组 线性无关；,(ii)向量组 的任一向量都能由向量组 线性表示那么向量组 便是向量组 的一个极大无关组.,由定理可知：,向量组的所有极大无关组所含向量个数相同,等价的无关向量组所含向量个数相同2,、向量组的秩,定义1,向量组,的极大无关组所含向量,的个数，称为该向量组的秩，记作,规定：,零向量组的秩为0,.,定理1,若一,向量组的秩为r,则该向量组中的任意,r+1个向量都线性相关.,推论,若一,向量组的秩为r,则该向量组中任意r个,线性无关的向量都是该向量组的极大无关组.,定理2,若向量组,可由,线性表示，则,推论,等价的,向量组的秩相同.,定理3,对任意向量组 ，有,注：,矩阵,A,的秩等于它的列（行）向量组的秩.,以 为列构造矩阵,求向量组的秩和极大无关组的方法,初等行变换,在阶梯形矩阵中找出每行左数第一个非零元所在的列向量，这些列向量对应的原向量就是极大无关组,阶梯形,且 是一个极大无关组.,以 为列构造矩阵,求向量组的秩和极大无关组的方法（续）,初等行变换,在阶梯形矩阵中找出每行左数第一个非零元所在的列向量，这些列向量对应的原向量就是极大无关组,化阶梯形为行最简形，将所有的非单位列向量用单位列向量线性表示即可,若要将其余向量用极大无关组线性表示，则接第步往下进行:,阶梯形,且 是一个极大无关组.,并用极大无关组表示其余向量,证明:若向量组 与向量组,等价,则,证：,设向量组 与向量组,的极大无关组分别为,由极大无关组与向量组本身等价，及等价关系的传递,性知，,等价，,而它们,又是线性无关的向量组，故,证毕！,小结,理解极大无关组和向量组秩的定义,掌握极大无关组和向量组秩的求法,课堂练习：,求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量,用此极大无关组线性表示.,解,所以 是一个极大无关组，且,解,所以 是一个极大无关组，且,。