单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,2.4 极限的性质与四则运算法则,一、,性质,性质1(唯一性),若极限,lim,f,(,x,),存在，则极限唯一注,此定理对数列也成立性质2(局部有界性),注,1、其他类型的极限对应的邻域由定义中,x,的变化范,围确定2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由,具体函数确定11/12/2024,0,2.4 极限的性质与四则运算法则一、性质性质1(唯一性)若,性质3(局部保号性),性质4,注,性质5,11/12/2024,1,性质3(局部保号性)性质4注性质59/17/20231,二、,四则运算法则,根据极限的定义,只能验证某个常数,A,是否为某个函数,(,x,),的极限,而不能求出函数,(,x,),的极限.为了解决极限的计,算问题,下面介绍极限的运算法则;并利用这些法则和一些,已知结果来求函数极限定理,11/12/2024,2,二、四则运算法则 根据极限的定义,只能验,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,推论3,推论4,推论5,11/12/2024,3,推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3推,注,应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为,零、偶次根号下非负等；,定理和推论中,C、n、a,都是与自变量无关的常量。
如,(3)参加求极限的函数应为有限个11/12/2024,4,注应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非,况,),时可直接代入例,利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一,些复杂的函数极限下面总结一下求函数极限的基本方法1、,代入法,答案,注意 代入时把所有,x,都换成,x,0,，不能只代入一部分11/12/2024,5,况)时可直接代入例 利用极限的运算性质和一些简单,例1,解,11/12/2024,6,例1解9/17/20236,例2,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,11/12/2024,7,例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得9/17/20,2、消零法,若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，,再消去公因式，直至可直接代入例,计算过程,11/12/2024,8,2、消零法若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，,x,3,-,x,2,-,16,x,-,20,=,x,3,+2,x,2,-,3,x,2,-,6,x,-,10,x,-,20,=,x,2,(,x+2,),-,3,x,(,x+2,),-,10(,x+2,),=(,x+2,)(,x,2,-,3,x,-,10),=(,x+2,)(,x+2,)(,x,-,5),注意从高次幂到低次幂,依次配项,11/12/2024,x3-x2-16x-209/17/2023,例3,解,11/12/2024,10,例3解9/17/202310,3、消最大公因子法,练习,答案,0,同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、,分母,除以最高次数的项,。
例,计算过程,很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数,以及(次数相等时)最高次项的系数有关11/12/2024,11,3、消最大公因子法练习答案 0同样都是多项式，若分子、,分子、分母同除以最高次幂,11/12/2024,分子、分母同除以最高次幂9/17/2023,例5,解,例4,解,11/12/2024,13,例5解例4解9/17/202313,例6,解,先变形再求极限.,11/12/2024,14,例6解先变形再求极限.9/17/202314,备忘,消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用例,计算过程,注,11/12/2024,15,备忘消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用例计算过程注,分子、分母同除以“最大项”,11/12/2024,分子、分母同除以“最大项”9/17/2023,4、有理化法,若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之,有理化例,计算过程,练习,答案,当,x,-,时结果为,-,(,a,+,b,),，故,x,时极限不存在,11/12/2024,17,4、有理化法 若分子或分母有根号(特别是有根号相,平方差公式,a,2,-,b,2,=(,a,+,b,)(,a,-,b,),立方差公式,a,3,-,b,3,=(,a,2,+,ab,+,b,2,)(,a,-,b,),11/12/2024,平方差公式立方差公式9/17/2023,例7,解,11/12/2024,19,例7解9/17/202319,5、通分法,例,答案,练习,答案,-1,11/12/2024,20,5、通分法例答案练习答案 -19/17/202320,6、变量代换法,例,方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之,改变)。
练习,答案,不存在计算过程,提 示,取,t,满足,xt,=1,，则,x,0,-,时,t,-,；,x,0,+,时,t,+,11/12/2024,21,6、变量代换法例方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势,为把两个根号同时去掉,做变量代换,当,x,1,时,t,1,，因此,消零法例如对分子：,-,t,m,+,1,=,-,t,m,+t,m-,1,t,m-,1,+t,m-,2,-,t+,1,=(,-,t,m,-1,t,m-,2,-,1)(,t,-,1),本题也可以用有理化法计算,11/12/2024,为把两个根号同时去掉,做变量代换当x1时t1，因此消零法,7、,其他,必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧例,答案,1,练习,答案,1,11/12/2024,23,7、其他必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧例答案,计算极限,思考题,11/12/2024,24,计算极限思考题9/17/202324,11/12/2024,9/17/2023,。