单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学课件(第四章第二节),4.2 洛必达(LHospital)法则,在求一些特殊类型的极限时,其结果呈现不确定性,我们称这些类型的极限为,不定式,.,如:,f,(,x,),0,g,(x)0,称极限 ,为 型;,f,(,x,),g,(x),称极限 ,为 型;,f,(,x,),0,g,(x),称极限 lim,f,(,x,),g,(x),为 0 型;,f,(,x,),g,(x),称极限 lim(,f,(,x,),g,(x),为 型;,f,(,x,),0,g,(x)0,称极限 lim(,f,(,x,),g,(x),称为 0,0,型;,f,(,x,),g,(x)0,称极限 lim(,f,(,x,),g,(x),为,0,型;,f,(,x,),1,g,(x),称极限 lim(,f,(,x,),g,(x),为 1,型.,高等数学课件(第四章第二节),4.2.1 关于 型及 型不定式的洛必达法则,定理 4-4(LHospital 洛必达法则),如果,f,(,x,)和,g,(,x,)满足下列条件:,(1)在,x,0,的某一去心邻域内可导,且,g,(,x,),0;,则,高等数学课件(第四章第二节),证明 补充定义,f,(,x,0,)=,g,(,x,0,)=0,则,f,(,x,),g,(,x,)在区间,x,x,0,和,x,0,x,上满足 Cauchy 中值定理的条件,由 Cauchy 定理,在,x,0,x,之间存在,使得,令,x,x,0,必有,x,0,从而,注 1,将条件(2)换为,定理的结论仍然成立.,高等数学课件(第四章第二节),注 2,对于 和 型的极限,当极限过程为,x,0,x,x,0,+,x,x,x,+,定理的结论仍然成立.,注 3,当极限 不存在时,不能断定极限,不存在,需用其他方法讨论极限 .,注 4,对于 和 型数列极限 不能直接应用罗必达法则.,高等数学课件(第四章第二节),例 1,求,解,高等数学课件(第四章第二节),例 2,求,解,对指数函数,a,x,(,a,1),幂函数,x,(,0)和对数函数(log,b,x,),(,b,1,0),当,x,+时,它们都趋于正无穷,例 2 表明,指数函数是比幂函数高阶的无穷大,同样,幂函数是比对数函数高阶的无穷大.,高等数学课件(第四章第二节),例 3,求,解 这是 型的极限,但极限,不存在,所以不能使用罗必达法则.但可用其它方法求极限.,其中第一个等式使用等价无穷小替换,第二个等式应用无穷小量与有界变量的乘积.,高等数学课件(第四章第二节),例 4,求,解,注,当分子或分母的某个因子的极限存在且不为零,则可将其单独求出.,高等数学课件(第四章第二节),例 5,求,解,高等数学课件(第四章第二节),例 6,求,解,高等数学课件(第四章第二节),4.2.2 其他类型的不定式,0,型不定式,可通过以下方式转化为 或 型不定式,高等数学课件(第四章第二节),解,例 7,求,高等数学课件(第四章第二节),例 8,求,解,注,将 0,型极限转换为 或 型极限求解时,要根据具体情况来确定,避免将问题弄复杂,甚至无法解出,高等数学课件(第四章第二节),型的不定式通常可经过通分转换为 型不定式.,例 9,求,解,高等数学课件(第四章第二节),对于 0,0,0,1,型的不定式,可通过指数函数与对数函数的关系转化为 0 的极限,0,0,e,0 ln 0,0,e,0 ln,1,e,ln 1,.,例 10,求,解,高等数学课件(第四章第二节),所以,其中,高等数学课件(第四章第二节),例 11,求,解,其中,所以,高等数学课件(第四章第二节),例 12,解,高等数学课件(第四章第二节),其中,所以,高等数学课件(第四章第二节),函数渐近线讨论.,若,x,a,或,x,a,+,时,f,(,x,),则称,x,=,a,为,函数,f,(,x,)的,铅直(垂直)渐近线,.函数可能没有铅直渐近线,也可能有多条垂直渐近线.,若,x,或,x,+,时,f,(,x,),A,则称,y,=,A,为,函数,f,(,x,)的,水平 渐近线,.函数最多有两条水平渐近线.,x,y,O,高等数学课件(第四章第二节),若,成立,则称直线,y,=,a x,+,b,是函数,y,=,f,(,x,)的,斜渐近线.,当,y,=,a x,+,b,是,y,=,f,(,x,)的斜渐近线时.,由,得,所以,O,y,x,高等数学课件(第四章第二节),例 13,试用洛必达法则求曲线,的斜渐近线.,所以,曲线的斜渐近线为,y,=,x,解 由,x,y,高等数学课件(第四章第二节),单元测试,1.求下列极限:,高等数学课件(第四章第二节),2.若,f,(0),0,f,(,x,)在,x,0 的邻域内连续,且,f,(0)0,试,求,3.求曲线,y,的水平与铅直渐近线.,。