单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,行化简与阶梯形矩阵,解的存在性与唯一性,阶梯形矩阵与行最简形,至少包含一个非零元素的行或者列，称为矩阵的,非零行,或者,非零列,非零行中最左边的非零元素，称为该行的,非零首元,或者,首项元素,若矩阵满足下列两条性质，就称该矩阵为,阶梯矩阵,：,1.,所有非零行都在元素全部为零的行之上；,2.,每一行非零首元所在的列，都在上一行非零首元所在的列的右边，即非零首元所在的列数随着行数的增大而增大则称为,行最简形矩阵,或,Jordan(,约当,),阶梯型矩阵,3.,非零行中的非零首元均为,1,；,4.,每个非零首元,1,所在列的其余元素均为,0,如果一个阶梯矩阵还满足以下两个条件：,(,证明略,),命题,任何一个非零矩阵都可经初等行变换化为阶梯矩阵，更进一步可化为行最简形注意：,使用不同顺序的初等行变换，化出来的阶梯矩阵一般是不同的但是从一个矩阵出发，通过不同顺序的初等行变换化简，得到的行最简形是唯一的思考：为什么行最简形是唯一的？,矩阵的阶梯形中，非零首元对应的位置称为,主元位置,，,位于主元位置的元素称为,主元,，,主元所在列称为,主元列,。
例,化下列矩阵为阶梯形，行最简形，并求主元列解,:,矩阵的主元列分别是第一、三、四列容易观察到，不同的初等行变换化出的阶梯形不同，但是主元位置是相同的，且行最简形是唯一的行最简形,阶梯矩阵,用初等行变换化矩阵为阶梯形,(,行最简形,),的一般步骤：,1.,从矩阵最左边的非零列开始，主元位置在该列的第一行；若该,位置元素为零，则用,对换变换,将其变为非零元，就得到一主元2.,用初等行变换中的,倍加变换,将主元下方的元化为零3.,盖住或忽略含有主元位置的行和它上面的所有行对余下的子,矩阵应用第一步到第三步，就可以得到阶梯形矩阵4.,若进一步要得到行最简形，在进行第二步时，要运用,倍加变换,将主元列中主元以外的所有元化为零，并用,数乘变换,将主元化为,1.,用化矩阵为阶梯形的方法求解线性方程组：,首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵,(,或化为行最简形,),例,求解线性方程组,解,:,写出行最简形对应的方程组,方程组有无穷多解，,通解,变量 与阶梯矩阵的主元位置对应，称为,基本变量,在行最简形中，这三个变量分别只在一个方程中出现，可以将其解出来，显式表示方程组余下的变量 可任意取值，因此称为,自由变量,。
注意,此例中，自由变量的出现是因为线性方程组的主元列数,(,即基本变量的个数,),少于总未知量个数主元列数为,3,列，即基本变量为,3,个，对应于,3,个方程，而总的未知量个数为,5,，故剩下的,2,个变量就成为了自由变量方程组有解时，,自由变量个数,=,总未知量个数,主元列数,首先对方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵,(,或化为行最简形,),例,求解线性方程组,解,:,由此阶梯矩阵可写出与原方程组同解的方程组,矛盾方程,因此原方程组无解矛盾方程的出现实际上是因为方程组的,系数矩阵的主元列数,少于,增广矩阵的主元列数,定理,1,一个线性方程组有解当且仅当增广矩阵的最右边一列不为主元列，,即增广矩阵的阶梯形式没有如下形式的行：,在有解时，如果主元列数等于未知量个数，则方程组有唯一解；如果主元列数少于未知量个数，则方程组有无穷多解定理,2,一个线性方程组有解当且仅当系数矩阵与增广矩阵有相同的主元列推论,1,齐次线性方程组一定有解推论,2,常数项全部为零的线性方程组称为,齐次线性方程组,，反之，则称为,非齐次线性方程组,使用初等行变换求解线性方程组的步骤,1.,写出线性方程组的增广矩阵。
2.,用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形，用主元列数判断方程组是否有解若无解，则停止；否则，进行下一步3.,继续进行初等行变换化简，得到行最简形4.,写出行最简形矩阵对应的线性方程组5.,改写第四步得到的每个非零方程，将其中的基本变量用显式表示出来，得到方程组的解练习,1,设线性方程组的增广矩阵可经过一系列的初等行变换化为如下阶梯矩阵,求解该线性方程组解：,由于系数矩阵与增广矩阵有相同的主元列，所以方程组有解又由于主元列数是,2,，未知量个数是,3,，即主元列数少于未知量个数，所以方程组有无穷多解写出行最简形对应的方程组,再将增广矩阵的阶梯形进一步化为行最简形：,练习,2,设一个线性方程组的增广矩阵为,解,:,答,：,练习,3,如果一个,非齐次,线性方程组，其方程的个数少于未知量的个数，则该非齐次线性方程组,。