单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Quantum mechanics,3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,*,/26,第三章 量子力学中的力学量,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Quantum mechanics,本章目录,第三章 量子力学中的力学量,*,3,.,7,算符的,对易,关系,两力学量同时有确定值的条件,测不准关系,Commutation relation of operators,Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value,Uncertainty relation,一、算符间的对易关系,(,Commutation relation of operators,),二、对易关系的物理意义,(,Physical significance,of commutation relation,),三、非对易关系的物理意义测不准关系,(,Physical significance,of commutation relation Uncertainty relation,),1,基本对易式:,3,.,7,算符的,对易,关系,两力学量同时有确定值的条件,测不准关系,Commutation relation of operators,Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value,Uncertainty relation,一、算符间的对易关系,(,Commutation relation of operators,),2,角动量算符的对易式:,角动量算符定义:,列维-斯维塔,(,Levi-Civita,),符号,同理可证:,例题证明,(原课件),:,因,是任意的函数,所以,解:取任意函数,由于,解:因为,例题证明,(原课件):,又因为,证明:设,即有,一般情况:设任意波函数态为,因,n,组成完备系,所以,二、对易关系的物理意义,(,Physical Significance,of commutation relation,),1,定理1:,如果两个算符,F,和,G,有一组共同的本征函数,n,而且组成完备系,则算符,F,和,G,对易.,证明:(1),非简并,设,2,定理2:,如果两个算符,F,、,G,对易,则这两个算符有,共同的本征函数,这些本征函数组成完备系.,又因,f,n,是无简并的,所以:,(2),简并时:设,F,的本征值,f,n,有简并,简并度为,s,n,g,是 的本征值,G,为了,n,也,是 的本征函数,令,G,显然:,n,是,的本征函数,本征值为,f,n,.,F,同时左乘 ,积分,若无重根:可解出,s,n,个,g,j,(,j,=1,2,),分别将,g,j,代入前式可得对应于每个,g,j,的一组解,所以相应的波函数,F,即:,nj,是 、的共同本征函数,本征值分别为,f,n,g,j,G,所以:,F,属于,f,n,的,s,n,个本征函数,ni,G,可按 的,s,n,个本征值,g,j,来分类,一组(,f,n,g,j,),确定的本征函数,nj,s,n,度简并解除.,对易关系的物理意义:,若两算符对易,则两算符存在共同本征函数.在其共同本征函数所描写的态中,两算符表示的力学量同时有确定的值.,因为 的本征函数,nj,构成完全系,所以 、,的共同本征函数也组成完全系.,F,G,F,F,G,若 有重根:则还需再找出与 、对易的力学量,才能确定体系的状态.,相应的本征值为:,p,x,p,y,p,z,共同本征函数,在,nlm,态下,能量,角动量平方,角动量,z,分量同时具有确定值.,3,力学量完全集,要完全确定系统所处的状态,需要一组相互对易的力学量(通常通过它们的本征值),这一组完全确定体系状态的力学量称之为,力学量的完全集合,.,如:,L,2,本征值有简并:,确定的,l,(,l,+1),h,2,有 2,l+,1 个要完全确定状态,Y,lm,(,),需确定,m,当,l,m,同时确定时,状态才能唯一确定.而,m,与力学量,L,z,相对应.即需另找一个与,L,2,对易的力学量,才能确定完全状态.,例:,三维空间中自由粒子的自由度是3,完全确,定它的状态需三个力学量.,p,x,p,y,p,z,.,氢原子中电子自由度是3,完全确定它的状,态需3个相互对易的力学量.,H,L,2,L,z,.,构成一组力学量完全集.,(,L,2,L,z,),下面讨论一般情况:,设任意两力学量,相应的算符且满足:,相应的涨落:,考虑积分:,三、非对易关系的物理意义测不准关系,(,Physical Significance,of commutation relation Uncertainty relation,),问题:若系统处于,F,的本征态,测力学量,F,时,F,有确定值,亦即涨落,F,2,=0,如同时测量另一力学量,G,则,G,2,=?,由不等式成立条件:,测不准关系,如:,坐标与动量的测不准关系:,能量与时间的测不准关系:,注:测不准关系,是物质粒子,波粒二重性,矛盾的反映,标志着经典粒子及力学量的概念对于微观粒子的适用程度.由于普朗克常数非常小,在一般的宏观现象中,不妨引用,轨道,的概念,但在处理微观世界中的现象时,必须用,测不准关系,.,例题用测不准关系计算线性谐振子的基态零点能量(,P,81).,解:谐振子平均能量为,由测不准关系:,解:设氢原子基态的最概然半径为,R,则原子半径的不确定范围可近似取为,对于氢原子,基态波函数为偶宇称,而动量算符为奇宇称,能量平均值为,例题利用测不准关系估计氢原子的基态能量(,P,92:3.13).,基态能量应取的极小值,由,3,.,1,表示力学量的算符,Operators expressed the mechanical quantities,第三章 量子力学中的力学量,Mechanical quantity in quantum mechanics,3,.,3,电子在库仑场中的运动,Electronic movement in Coulomb field,3,.,2,动量算符和角动量算符,Momentum operator&angular momentum operator,3,.,4,氢原子,Hydrogen atom,25,3,.,5,厄密算符本征函数的正交性,Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction,3,.,7,算符的,对易,关系 两力学量同时有确定值的条件,测不准关系,Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation,3,.,6,算符与力学量的关系,Relations of operator&mechanical quantity,3,.,8,力学量平均值随时间的变化守恒定律,Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation,26,。