单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法,本节内容,1.,线性方程组的同解变换；,2.,矩阵的初等变换；,3.,初等矩阵；,4.,用初等行变换求逆矩阵,.,线性方程组的同解变换,同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组同解初等变换,就是线性方程组的同解变换定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解证明看课本第,9,页）,矩阵的初等变换,定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换：,1.,对换矩阵的两行（或两列）；,记为,2.,以任意数 乘以矩阵的某一行（或列）每个元；,记为,3.,某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去,.,记为,矩阵,A,经过初等变换化为矩阵,B,表示为,AB,习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换消元法解线性方程组,消元法的基本思想是：反复利用同解变换将方程组化为阶梯形状在消元法求解过程中，只涉及到对方程组的系数与常数的运算因此只考虑对方程组的系数与常数组成的矩阵进行变换即可相应的，对矩阵进行类似的变换叫做矩阵的初等变换矩阵的初等,行变换,的定义，完全对应着方程组的同解变换。
因此，对矩阵进行初等行变换使其成为阶梯形矩阵的过程，实际上就是对方程组进行同解变换使其变为阶梯形状的过程例：解线性方程组,先将方程组的系数与等式右边的常数组成一个,34,的矩阵，然后对矩阵进行初等行变换变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组或,注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程组的同解变换初等矩阵,定义：由单位矩阵,I,经过一次初等变换的矩阵称为,初等矩阵,由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有三种类型1,）,对调,I,的两行（或两列）,；,（,2,）,非零数乘以,I,中的某行（或某列）,；,（,3,）,某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）,初等矩阵都是可逆的，并且,根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式同时，上面等式表明：,初等矩阵的逆仍然是初等矩阵,初等矩阵的性质,定理,1.2,有限个初等矩阵的乘积必可逆,.,用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换,；反之亦然若矩阵,B,是矩阵,A,经过有限次初等变换得到的，那么可以记为,B,PAQ,，其中,P,、,Q,为初等矩阵的乘积,定理,1.3,可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆,.,定理,1.4,可逆矩阵经过有限次,初等行变换,可以化为单位矩阵,.,定理,1.5,方阵,P,为可逆矩阵的充要条件是,P,可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
证明,1.3,，,1.4,，,1.5,用初等行变换求逆矩阵,原理：可逆矩阵,A,可以分解为若干初等矩阵的乘积，设,则,上式表明，对矩阵,A,与,I,进行相同的行变换，在把,A,化为单位阵的同时，就把,I,化为了,A,的逆矩阵做法：将,A,与,I,按照,行的方向,组合成一个大矩阵，对大矩阵进行行变换，在,A,部分成为,I,的时候，原来的,I,部分就成为,A,的逆例题,设 ，求,解：,小结,本节要求掌握内容,1.,矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号,；,2.,初等矩阵的性质,；,3.,用初等行变换求逆矩阵,.,作业,P34,1.7,（,2,）（,5,）,1.10,初等变换,线性方程组的,初等变换,有三种：,1.,互换两个方程的位置,；,2.,把某个方程两边同乘以一个非零常数,；,3.,将某个方程加上另一个方程的,k,倍,.,初等变换是可逆的，即用同类型的变换可将新方程组变为原方程组注意：变换过程中方程组中方程的个数不变返回,互换两个方程的位置,返回,方程两边同乘以一个非零常数c,返回,一个方程加上另一个方程的k倍,返回,对调I中的两行（或两列）,对调,I,的两行,对调,I,的两列,返回,非零数乘以I中的某行（或某列）,非零数乘以,I,的行,非零数乘以,I,的列,返回,某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）,返回,初等矩阵左乘相当于行变换初等矩阵右乘相当于列变换,返回,矩阵的初等变换,定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换：,1.,对换矩阵的两行（或两列）；,记为,2.,以任意数 乘以矩阵的某一行（或列）每个元；,记为,3.,某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去,.,记为,矩阵,A,经过初等变换化为矩阵,B,表示为,A,B,。
习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换返回,初等矩阵的性质,定理,1.2,有限个初等矩阵的乘积必可逆,.,用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换,；反之亦然若矩阵,B,是矩阵,A,经过有限次初等变换得到的，那么可以记为,B,PAQ,，其中,P,、,Q,为初等矩阵的乘积,定理,1.3,可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆,.,定理,1.4,可逆矩阵经过有限次,初等行变换,可以化为单位矩阵,.,定理,1.5,方阵,P,为可逆矩阵的充要条件是,P,可以表示为有限个初等矩阵的乘积返回,例题,设 ，求,解：,返回,。