单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复变函数论,Functions of One Complex Variable,湖南第一师范学院数理系,第六章 留数理论及其应用,6.1,留数,6.2,用留数定理计算实积分,6.3,辐角原理及其应用,1.留数的定义及留数定理,设函数,f,(,z,)在点,a,解析.作圆,C,:,|za|=r,设函数,f,(,z,)在区域0|,z,-,a,|,R,内解析.选取,r,，使0,rR,，并且作圆,C,:,|za|=r,如果,f,(,z,)在,a,也解析，则上面的积分也等于零；,使,f,(,z,)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西积分定理,6.1,留数,如果,a,是,f,(,z,)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零.,定义6.1,设,f,(,z,)在点,a,的某去心邻域,0,|za|R,内解析，则称积分,为,f,(,z,)在孤立奇点,a,的留数(residue)，记作,而且这一展式在,上一致收敛逐项积分，我们有,因此,注1,.我们定义的留数 与圆,的半径,无关：事实上，在0|,z,-,a,|,R,内，,f,(,z,)有洛朗展式：,注2,.,f,(,z,)在孤立奇点,a,的留数等于其洛朗级数展式中,的系数,c,-1,。
注3,.如果,a,是,f,(,z,)的可去奇点，那么,柯西留数定理,定理6.1,如果,f,(,z,)在周线或复周线,C,所围的区域,D,内，除,a,1,，,a,2,，,a,n,外解析，在闭域,D+C,上除,a,1,，,a,2,，,，,a,n,外连续，则,留数定理的证明,以,D,内每一个孤立奇点,a,k,为心，作圆,k,，,使以它为边界的闭圆盘上每一点都在,D,内，并且,使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点从,D,中,除去以这些,k,为边界的闭圆盘的一个区域,G,，,其边界是,C,以及,k,.,在,G,及其边界所组成的闭区域上，,f,(,z,)解析因此根据柯西定理，,注1,.留数定理在两个完全不同，也不相干的概念之间架起了一座桥梁,.,注2,.具体计算一定要注意前面的系数2,i,.,注3,.柯西积分定理与柯西积分公式都是柯西留数定理的特殊情形.,注4,.留数定理把计算周线积分的整体问题化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题.,2.留数的求法,计算,f,(,z,)在孤立奇点,a,的留数时，我们只关心其洛朗级数展式中的洛朗系数,c,-1,，应用洛朗级数是求留数的一般方法.但是对于奇点较多的情形此法较繁.,对于计算,f,(,z,)在极点,a,处,的留数时，我们有下面的定理：,定理6.2,设,a,为,f,(,z,)的,n,阶极点，,推论6.3,设,a,为,f,(,z,)的二阶极点，,定理6.2的结论也可写成,推论6.3,设,a,为,f,(,z,)的一阶极点，,定理6.5,设,a,为 的一阶极点.,其中,P,(,z,)及,Q,(,z,)在,a,解析，,P,(,a,),0，,Q,(,a,),=,0.,例1.,函数,因此,有两个一阶极点,z,=,i,，这时,例2.,函数,在,z,=0有三阶极点，而,因此,由上述公式也可得：,例3.,函数,在,z,=,i,有二阶极点.这时,令,z=i+t,，那么在,的泰勒展式中，,t,的系数就是,f,(,z,)在,z=i,处的留数。
写出,h,(,t,)中每个因子的到,t,的一次项，我们有：,当,|t|,1时,因此当,|t|,1时，,于是,由上述公式也可得：,例6.3,计算积分,.,解 只以,z,=,0 为三阶极点.,例6.4,计算积分,.,解法一,例6.4,计算积分,.,解法二 的全部零点为,在|,z,|=1内只有,z,=0 一个零点.且为被积函数的一阶极点.,例6.5,计算积分,.,解 只以,z,=,0为本质奇点.,本 讲 结 束,作 业,第269页,1.(4)(5)(6),。