单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件,一相似的定义,设,A,、,B,都是,n,阶方阵，若存在,n,阶可逆矩阵,P,，使得,则称,A,相似于,B,记作,（,A,等价于,B,：,）,问,A,是否相似于,B,？,因为存在可逆矩阵,使得,例如 已知,取,令,已知,求一个与,A,相似的矩阵,B,即,则,对于可逆矩阵,对于可逆矩阵,一般来说,与,n,阶矩阵,A,相似的矩阵可能不只一个,因为对于任意的,n,阶可逆矩阵都有,不同，则可能不同，,但都有,注,2,和数量矩阵相似的矩阵只有它自身,，则对于任意的可逆矩,阵,设,1反身性：,2对称性：,3传递性：,二相似的性质,若 则与的特征值相同,若两对角阵,和,相似,和,有什么关系？,由性质,可知：,若两对角阵相似，则两对角线上的元素，不计次序外，完全相同,若 则,则与的特征值相同，,若 则,与,或同时可逆或同时不可逆,若 则与的迹相同,设为,则有,若 则,可逆,可以表示成一些初等矩阵的乘积,即,若 则,10.若 则,注：这,些相似关系中的,P,不变,除了转置关系,10.若 则,相似矩阵有许多共同的性质,特征值相同,行列式相同,可逆性相同,迹相同,等价,秩相同,三.,阶矩阵,A,与对角矩阵相似的条件,定理,5.6,证明：必要性,阶矩阵,A,可对角化的,充分必要条件,是,A,有,个线性无关的特征向量,若,则存在,n,阶可逆矩,阵,，使得,显然，,且 线性无关,设,是,A,的特征值，,是,A,的属于 的特征向量,又 线性无关,所以,A,有,n,个线性无关的特征向量,充分性,设,有,n,个线性无关的特征向量：,它们所对应的特征值依次为：,则有,令,于是，,由于 线,性无关，故,可逆,即,所以,A,相似于对角阵 ,若,A,有,n,个线性无关的特征向量,则,A,与对角阵相似，且,其中，是的n个特征值，是,的属于的特征向量,例,判断矩阵 是否和对角,矩阵相似,若相似，求相应的可逆矩,阵,，,解,得,的全部特征值为,使得,对于,解齐次线性方程组,令自由未知量 ，,得基础解系,对于,令自由未知量,得基础解系,有三个线性无关的特征向量,性质,属于不同特征值的线性无关的特征向量仍然线性无关（定理5.4）,相应的可逆阵,或,或,注意：对角阵 的主对角线上特征值的顺序要和可逆阵,P,中特征向量的顺序一致,或,或,推论,若,n,阶矩阵,A,有,n,个互不相同的特征值，则,A,一定相似于一个对角阵,设三阶矩阵A有特征值-1,1,2，求证：矩阵,可对角化,证,的特,征值为,设,A,的特,征值为 ，则的特征值为,的特,征值为,的特,征值为,即阶矩阵,有三个互不相同的特,征值,或,例2,判断矩阵 是否和对角矩阵相似,解,得,的全部特征值为,对于,解齐次线性方程组,令自由未知量 ，,得基础解系,对于,令自由未知量,得基础解系,三阶矩阵,只有两个线性无关的特征向量,，,故,A,不与对角矩阵相似,为什么三阶矩阵,只有两个线性无关的特征向量,？,2重特征值只提供了1个线性无关的特征向量,问题出在哪里呢,特征值 是特征方程 的根,特征方程 是关于 的,n,次方程,n,次方程在复数域内有,n,个根(包括重根),所以,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值,.,如果某个特征值是特征方程的 重根，就说的重数是,.,则,A,的全部特征值的重数之和为,n,.,如果,A,的任一个特征值提供的线性无关的特征向量的个数都与这个特征值的重数相同，,因为所有特征值的重数之和为,n,那么,一定有,n,个线性无关的特征向量,则可对角化,基础解系中解向量的个数,提供的线性无关的特征向量个数,的,重数,n,阶矩阵,A,可对角化的充分必要条件是:,对于,A,的每个 重特征值 ,都有,n,阶矩阵,A,可对角化的充分必要条件是:,对于,A,的每个 重特征值 ,都有,即,定理5.7,例,判断矩阵 是否和对角矩阵相似,解,得,的全部特征值为,的重数,对于重特征值，,不与对角阵相似,应有,但是,n,阶约当块：,四约当标准形,阶约当块,阶约当块,阶约当块,不是,约当块,注：,约当块是上三角矩阵，且对角线上元素相同,由若干个约,当块构成的分块对角阵,2,约当形矩阵,注：,对角矩阵是特殊的约当形矩阵,矩阵,有两个特征值,3.结论：任一,n,阶矩阵都和一个,n,阶约当形矩阵相似,或,注：,除对角线上约当块的次序外，约当标准形是被矩阵,惟一确定的,约当标准形对角线上的元素就是,的特征值,。