单击此处编辑母版标题样式,,*,,*,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,第五节 奈魁斯特稳定判据,9/12/2024,1,,,主要内容,,,奈氏稳定判据,,在波德图上判别系统稳定性,,稳定裕度,奈氏稳定判据是,用开环频率特性判别闭环系统的稳定性,不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径9/12/2024,2,,一、奈氏稳定判据,N：逆时针包围为正，顺时针包围为负,,注意：若含有积分环节v，奈氏曲线需要在,ω=0+处逆时针延长到半径为无穷大的v/4的圆，该延长线是本曲线的一部分9/12/2024,3,,[例5-6]开环传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性[解]：开环系统的奈氏图如右在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 故闭环系统是稳定的9/12/2024,4,,[例5-7]设开环系统传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。
[解]：开环极点为-1， -1 j2，都在s左半平面， 奈氏图如右从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕 (-1,j0)点2圈所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的9/12/2024,5,,[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系[解]：开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1， 则 闭环系统是稳定的9/12/2024,6,,当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0， ，所以 ，闭环系统不稳定9/12/2024,7,,这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数 在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当 从 时，频率特性曲线在实轴 段的正负穿越次数差为 。
频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示当 增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的 段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的 段的正穿越（这时随着 的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点反之称为负穿越正穿越,负穿越,9/12/2024,8,,二、在对数坐标图上判断系统的稳定性：,开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：,,1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线奈氏图频率特性曲线在 上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上 的范围内，当 增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越因为相角值增加了反之称为负穿越9/12/2024,9,,对照图如下：,正穿越,负穿越,正穿越,负穿越,相角方向为正,增加时，,,相角增大,对数坐标图上奈氏稳定判据如下：,设开环频率特性 在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性 的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。
闭环系统右半s极点数为： ，式中 为正负穿越次数差若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定9/12/2024,10,,注意：,若有v个积分环节的系统，则在∠G(j0+)延长至∠G(j0+)+v,×90°处，其延长线也为相频曲线一部分9/12/2024,11,,三、最小相位系统的奈氏判据：,开环频率特性 在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点因为若N=0，且P=0，所以Z=0奈氏图幅值和相角关系为,：,当 时，,当 时，,式中， 分别称为相角、幅值穿越频率,上述关系在对数坐标图上的对应关系:,当 时，,当 时，,9/12/2024,12,,当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态这时： 。
对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度稳定裕度越大，稳定性越好四、稳定裕度,,[定义]： 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度在对数坐标图上，用 表示 的分贝值即,9/12/2024,13,,显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的最小相位系统， 和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度常用相角裕度[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。
9/12/2024,14,,[例]设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得当k=10时，开环系统波德图如右所示这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.,9/12/2024,15,,相位裕度和幅值裕度的计算：,,,相位裕度：,先求穿越频率,在穿越频率处， ，所以 ，解此方程较困难，可采用近似解法由于 较小（小于2），所以：,穿越频率处的相角为：,相角裕度为：,9/12/2024,16,,,幅值裕度：,先求相角穿越频率,相角穿越频率处 的相角为：,由三角函数关系得：,所以，幅值裕度为：,9/12/2024,17,,当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的9/12/2024,18,,[例5-11]某系统结构图如下所示。
试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k[解]：当k=10时，开环传递函数为：,手工绘制波德图步骤：,,1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至 ；,,2、在 之间画斜率为-40的斜线；,,3、 后画斜率为-60的斜线9/12/2024,19,,上图蓝线为原始波德图 ，显然 闭环系统是不稳定的为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移即将开环放大系数减小，这时相频特性不变截止频率左移至 ，移到哪里？,9/12/2024,20,,,，从图中看出： 所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:,所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以,设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论 时较明显）。
解得：,9/12/2024,21,,带有延迟环节系统的相位裕度的求法：,设系统的开环传递函数为： ，我们知道增加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 表现在奈氏图和波德图上的情况如下（假设G,k,(s)）为最小相位系统左图中，红色曲线为G,k,(s)频率特性，兰色曲线为增加了延迟环节后的频率特性其幅值和相角穿越频率分别为 和 ，相角裕度分别为 显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了若要确保稳定性，其相位裕度必须大于零即：,9/12/2024,22,,[,稳定裕度概念使用时的局限性,]：,,1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；,,2、非最小相位系统不能使用该定义；,,3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好见下图：,9/12/2024,23,,小结,奈奎斯特稳定判据；,,对数坐标图上奈氏判据的描述稳定裕度,9/12/2024,24,,。