四川省2024—2025学年高二上学期12月学情检测数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.考查范围：必修第二册第九章和第十章，选择性必修第一册全册.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（ ）A. 1000株 B. 1200株 C. 1500株 D. 1800株【答案】B【解析】【分析】由题意求出存活率后列式求解即可.【详解】第一次试种植物的存活率为，故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株.故选：B2. 已知向量，，若，共线，则（ ）A. B. 2 C. D. 10【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得结果.【详解】依题意可得，解得，，所以.故选：C.3. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意列出关于的方程组，求得，再计算离心率．【详解】，，依题意，解得，，则.故选：C.4. 已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】判断出两圆位置关系即可得出圆，的公切线条数.【详解】由已知得，圆：，圆心为，半径为；圆：，圆心为，半径为，故，而，故圆，相交，有两条公切线.故选：.5. 已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图形应用空间向量加减法及数乘运算即可求解.【详解】依题意，.故选：D.6. 将一次学校数学模拟竞赛的成绩统计如下图所示，记本次模拟竞赛的成绩的中位数为，则（ ）A. B. C. 75 D. 【答案】A【解析】【分析】应用频率和为1计算求得，再应用中位数定义计算即可.【详解】由图可知，解得，所以前3组的频率和为，前4组的频率和为，故在第4组，且.故选：A.7. 已知，点，点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知消去参数可得P段上，点Q在圆C：上，根据点到线的距离公式求解即可.【详解】对点P，，消去t可得，，故点P段上，对点Q，，消去可得，，故点Q圆C：上，则.故选：B.8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系的向量表示可得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算可得，可求得离心率.【详解】如下图：由可得，即，又，可得为的中点，故，又，故为等边三角形，设的边长为，由双曲线定义可知，，，所以，，又，故，故，在中，由余弦定理可得，即，可得故.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量数量积得出垂直关系，再由等边三角形性质以及双曲线定义，结合余弦定理计算可得离心率.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】应用向量的差判断A,应用模长公式计算判断B,应用数量积及夹角余弦公式计算判断C,D.【详解】依题意，，故A正确；，故B错误；，故，故C正确；，故，故D正确.故选：ACD.10. 已知一组样本数据：的平均数为，方差为，现由这组数据衍生得到新的样本数据：，其中，则（ ）A. 新的样本数据的平均数为69 B. 新的样本数据的平均数为65C. 新的样本数据的方差为270 D. 新的样本数据的方差为360【答案】BC【解析】【分析】由平均数和方差的定义及性质即可求解.【详解】依题意，所求平均数为，方差为.故选：BC.11. 已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（ ）A. B. 若，则直线的斜率为C. 若的面积为16，则直线的倾斜角为或D. 若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则【答案】ACD【解析】【分析】对于，设直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理即可求解；对于，由弦长公式求解即可；对于，由求解即可；对于，由中点坐标公式可得，所以，当和分别求解即可.【详解】依题意直线的斜率不为0，，设直线：，联立，则，则，故A正确；又，，，解得，故直线斜率为，故B错误；，解得，则直线的斜率为，故直线的倾斜角为或，故C正确；，而，故，当时，易知，当时，，则，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 数据70，20，30，90，50，120的下四分位数为_______.【答案】30【解析】【分析】先将数据从小到大排序，然后计算结合下四分位数定义即可求解.【详解】将数据按照从小到大排列可得20，30，50，70，90，120，因为，故下四分位数为30.故答案为：30.13. 已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为_______.【答案】【解析】【分析】应用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以N为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴，过点N与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为等边三角形，所以面积为，所以，，则，，，所以，则，，则直线，所成角的余弦值为.故答案为：.14. 已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围.【详解】直线：过定点，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为，因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交，设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知点，，.（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）已知圆过点，求圆的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段AC的垂直平分线的斜率，即可写出方程；（2）仿照（1），求出线段的垂直平分线的方程，再将两线段的中垂线方程联立，依次求出圆心和半径，即得圆的方程.【小问1详解】依题意，设线段的中点为，因，，则，直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为，故其直线方程为：，即；【小问2详解】仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即，由解得：，即圆心为，圆的半径为：,故圆的方程为：.16. 在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为，女生代表作答正确的概率为，且两位代表是否作答正确互不影响.（1）若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率；（2）若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）（2）应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求概率即可；【小问1详解】记男生答对第个问题为事件，女生答对第个问题为事件，仅有一位代表答对问题为事件M， 则，故仅有一位代表答对问题的概率为.【小问2详解】记女生代表答对问题个数多于男生代表为事件N，则，故女生代表答对问题个数多于男生代表的概率为.17. 已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率.【答案】（1） （2）或.【解析】【分析】（1）先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即得双曲线的焦点坐标，再利用双曲线的定义求出，进而，即可解答；（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，当时，直线与渐近线平行，与与双曲线仅有1个交点符合题意，当时，利用判别式法列方程求解，即可解答.【小问1详解】抛物线C：的焦点坐标为，设双曲线：，则的焦点坐标为，，则，则，而，故，故双曲线的方程为.【小问2详解】显然直线的斜率存在，否则直线与双曲线无交点；设直线的方程为，联立则，故，若，解得，此时直线与双曲线仅有1个交点；若，则，解得.综上所述，直线的斜率为或.18. 如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，M为线段的中点，点N段上（不含端点位置）. （1）若平面，求的值；（2）若，求的值；（3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.【答案】（1）1 （2） （3）或【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质可得，再利用中位线的性质即可得解；（2）由题意结合面面垂直的性质定理可得、、两两垂直，即可建立适当空间直角坐标系，设，即可表示出、，再利用空间向量数量积公式计算即可得，即可得解；（3）表示出平面与平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得，即可得解.【小问1详解】由平面，平面平面，平面，故，又为线段的中点，故为线段的中点，即.【小问2详解】由，则，则，由，，则，因为，故，又二面角为直二面角，故平面平面，由平面平面，，平面，故平面，又平面，故，即有，，两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系，有A0,0,0，，，，，即，，，设，则，若，则，解得，即，故 【小问3详解】由（2）得，，，，则，设平面与平面的法向量分别为，，则有，，令，则有，，，，即可取，，由平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则有，整理得，解得或，即或，故或.19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且.（1）求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程；（2）将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点。
