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导数与微分——函数的导数及其运算

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章,导数与微分,函数的导数,当函数的自变量作微小,变化时，因变量相对于,自变量变化快慢的程度。,瞬时变化率,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、函数的可导性与连续性的关系,四、单侧导数,第一节,导数及其运算,第二章,一、引进导数概念的两个问题,1.,直线运动的速度：,所以物体在这段时间的平均速度,物体的位移,为了得到瞬时速度的精确概念，把瞬时速度理解成当时间段无限缩小时平均速度的极限,.,2.,切线问题,相应的,，切线的斜率等于割线斜率的极限。,切线理解成割线的极限位置，,即因变量的变化与自变量变化之比的极限,.,注,:,如果用横轴代表时间,纵轴代表位,置,则可发现割线斜率相当于平均速度，,由此引进函数的导数的概念,.,而切线斜率相当于瞬时速度,.,因此两个问题的本质其实是一样的,.,二、导数的定义,另一种形式,即,注：,函数在一点的导数仅与该点附近的函数值有关，所以导数是一个局部概念。,(1),导数从运算上看是,差的商的极限,，所以导数又称为,微商,。,物体运动的瞬时速度等于

2、位移对时间的导数。,曲线在一点的切线斜率等于函数在该点的导数。,求导步骤,:,用导数的语言，,解,:,解,:,三、导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,思考：,解：,由导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,注意错解：,解：,所求切线方程为,则切线的斜率为,所求切线方程为,解,:,错,导数的符号和大小反映什么？,所以函数的导数符号反映函数的单调性。,导数的绝对值越大，曲线越陡，说明,y,相对于,x,变化得越快。,根据导数的几何意义，由图形可看出：,2.,右导数,:,四、单侧导数,1.,左导数,:,性质,:,导数存在的充要条件是左右导数都存在且相等。,（,导数是一个极限）,可用于判断分段函数在分界点的导数是否存在,.,例,5,解,:,五、可导与连续的关系,函数连续不一定可导,（上例），,但可导必连续,.,几何,：,可导函数的图形是一条光滑的曲线。,也就是说，不连续一定不可导，或者说，可导一定连续，但并不意味着连续函数肯定可导。可见，函数连续是函数可导的必要条件而非充分条件。,概念理解,函数在某点处的导数,区别,:,是函数,是数值,;,联系,:,注意,:,有什么区别与联系,?,？,与导函数,要点,:,引进导数概念的两个问题：,1.,瞬时速度：,2.,曲线切线,:,瞬时速度理解为当时间段无限缩小时平均速度的极限,.,切线理解为割线的极限位置。,导数的定义：,导数的实质,:,瞬时变化率,.,导数的几何意义,:,切线的斜率,.,第一节,导数的概念,差商的极限,.,可导与连续的关系,:,连续不一定可导,但可导必连续,.,求导步骤,:,求增量,;,算比值,;,取极限,.,导数的符号反映什么：,函数的单调性,.,切线方程,:,左右导数都存在且相等,.,导数存在的充要条件：,可用于判断分段函数在分界点的导数是否存在,.,

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