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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 习题课,导数与微分,一 基本要求,1,理解导数的概念,明确导数就是函数的变化率,.,理,解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和,法线方程,.,了解函数的可导与连续性的关系,.,2,掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,则,掌握基本初等函数的导数公式,会求分段函数,的导数,.,3,了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、二,阶导数的求法,会求简单函数的 阶导数,.,4,会求隐函数和由参数方程所确定的一阶、二阶,导数,.,5,理解微分的概念,了解微分形式不变性,会求微分,.,二 要点提示,1,导
2、数定义的几种形式,若 在 处函数增量与自变量增量之比,(,当自变,量增量趋于零时,),的极限存在,则 在 可导,.,于,是 可表达成多种形式：,其中,2,复合函数的求导法则,应用法则时,应首先分析所给复合函数的复,合结构,认清它是由哪些简单函数复合而成,可从,外向里一层一层地求导,.,例如,:,3,分段函数的导数,在对分段函数求导时,分段点处要用导数的,定义或者左、右导数来确定该点的导数是否存,在或求导,.,三 问题与思考,问题,1,设函数 在点 可导,且,则一定有,对吗？,答,:,不一定,.,例如,而,错误的原因是将 与,的含义混淆了,.,前者表示 在点 的,导数,后者是函数值,(,常数,)
3、,的导数,必为,0.,问题,2,如果 在 不可导,那么曲线,在 处是否一定不存在切线？,答,:,不一定,.,例如 在 处不可导,但曲,线 在 处有,铅直,切线 轴,即,.,思考：曲线 在 处有切线，,则 在 处一定可导吗？,问题,3,设函数,用下列方法,求 正确吗？,解,:,当 时,有,;,当 时,有,答,:,不正确,.,在分段点 处,由于不连续,所以,在 处不可导,.,在分段函数的分段处的,导数,应该用单侧导数来考察,事实上,而,不存在,.,在,处不可导,.,正确答案应是,问题,4,设,求,.,下列做法是,否正确？,解,:,当 时,故,不存在,.,答,:,不正确,.,事实上,函数 在 处可导
4、,但导函数 当,时不一定存在极限,.,但当 满足了以下定理条,件时,有,.,定理,:,如果 在 处连续,在 的去心邻域内可,导,且 存在,那么 在 处可导,且有,(,可用以后要学的微分中值定理证明,),注意,:,在本章中,对分段函数在分段点的导数,必须,用定义来求,.,问题,5,若 和 在 均不可导,在 是否也不可导？,答,:,不一定,.,例如,在 处均,不可导,但 显然可导,.,问题,6,若 在 处可导,在 点处不可导,在 点处是否可导？,答,:,不一定,.,例如,可导,而 在 不可导,但,在 可导,.,又例 可导,在 处不,可导,在 不可导,.,问题,7,函数 的倒数与微分的关系？有什么,联系？有什么区别,?,答,:,对于一元函数 来说,可导与微分是等,价的,且,.,但导数与微分是两个完全,不同的概念,导数是函数对自变量的变化率,只依,赖于自变量,而微分是函数增量的线性主部,不,仅依赖于,还依赖于自变量的增量,.,从几何上,看,导数 是曲线 上一点的切线斜率,;,而微分表示曲线在该点处切线上点的纵坐标的,增量,.,1 设存在 ，求,2 设 ，讨论 在 处,的连续性与可导性。,2 设,3 设 ,求,四 典型题目,4 求导数,5 求 的,n,阶导数。,6 设 ，其中 是具有二阶导数，,求,7 求 的二阶导数,8 设 ，求,
