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1、 第十二章 无穷级数第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点1 基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与P级数的收敛性，掌握正项级数的比值审敛法。(3)了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。(4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对幂级数的和函数只要求作简单训练）。(5)会利用与的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级
2、数。(6)了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。(7)了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开成傅立叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在和上的函数展开成傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为傅立叶正弦级数或余弦级数。2 重点及难点（1） 重点：掌握正项级数的审敛法，能对幂级数审敛及会把某些函数展开成幂级数。（2） 难点：一般项级数的审敛法，求幂级数的和函数，将函数展开成幂级数。二、内容概述1常数项级数 （1）一般概念 定义 给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式，称为级数，记为，其中第n项叫做级数的一般项；级数的前n项和称为级数的
3、第n个部分和，简称部分和。 定义 如果级数的部分和数列有极限s，即若，则称无穷级数收敛，这时极限s叫做该级数的和，并写成 ; 如果没有极限，则称级数发散。（2）收敛级数的基本性质性质1、若收敛于和也收敛，且其和为ks，其中k为常数。推论：若，则与同时收敛或同时发散。性质2、若两个级数、收敛，且其和分别为，则级数也收敛，其和为。此性质是说，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。注意 (i)若收敛，发散，则级数发散； (ii)若和都发散，未必发散，可能收敛也可能发散。性质3、在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。性质4、收敛级数任意加括号所成的新级数，仍然收敛于原级数之和。 注意 发
4、散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛。反过来说，收敛级数去括号后未必仍收敛。推论：若加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。性质5（级数收敛的必要条件） 若级数收敛，则。 注意 一般项趋于0的级数，不一定收敛。推论 若，则级数发散。 我们常用这个推论来判定某些级数是发散的。2 正项级数及其审敛法(1) 一般概念定义 这种级数称为正项级数. 定理 . 该定理说明若正项级数发散，则无界。（2） 比较审敛法,且,若收敛,则收敛； 若发散，则发散。 比较审敛法的特点是，判断一个正项级数是否收敛需找一个已知收敛性的级数与之比较。因此，比较审敛法的不便之处在于需有参考级数.在利用比
5、较审敛法时要掌握一些已知其收敛性的级数，常用的参考级数有几何级数, P-级数, 调和级数：（i） 几何级数当时收敛，其和为；当时发散。 (ii)P-级数（3）比较审敛法的极限形式 设与都是正项级数,如果, 则(i) 当时, 二级数有相同的收敛性; (ii) 当时，若收敛, 则收敛; (iii) 当时，若发散, 则发散; 比较审敛法用得比较多的是它的极限形式，利用极限形式可以省去放大与缩小不等式的麻烦。 （4）比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法) 设是正项级数,如果, 则当时级数收敛;当或为时级数发散; 当时级数可能收敛也可能发散. 利用比值审敛法判别级数的收敛性，只需要通过级数本身就
6、可以进行，而不必象比较审敛法那样还必须找出一些收敛性为已知的其他级数，这是它的优点。当然，当极限不存在及极限时比值审敛法失效，只能改用其他方法。 注意 (i)当时比值审敛法失效; (ii)条件是充分的,而非必要. （5）根值审敛法(柯西判别法) 设是正项级数,如果,则时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 注意 (i)比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都只适用于正项级数。(ii)对于同一正项级数，有时比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都行之有效， 但各种判别法的繁简程度可能不同。(iii)由于比较审敛法需要有一个已知其敛散的级数进行比较，因此在使用上有 时没有比值审敛法与根值审敛法方便；但比值审
7、敛法与根值审敛法都是特殊形式的比较审敛法。因此，若比值审敛法与根值审敛法不能判定其收敛性的正项级数，可以考虑用比较审敛法判定其收敛性。3.交错级数及其审敛法 定义 形如 的级数，即正、负项相间的级数称为交错级数. 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:(i);(ii),则级数收敛,且其和,其余项的绝对值.注意 若不满足莱布尼茨定理第二条，则级数一定发散；但满足第二条而不满足第一条的交错级数则不一定发散。4. 任意项级数及其审敛法定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理 若收敛,则收敛.定义:若收敛, 则称为绝对收敛;若发散,而收敛, 则称为条件收敛.5.函数项级数和幂级数(1) 一般概
8、念定义 设是定义在区间上的函数,则称为区间上的(函数项)无穷级数. 对函数项级数来说，在给定一个确定值之后，函数项级数即转化为常数项级数。 定义 如果,数项级数收敛, 则称为级数的收敛点, 否则称为发散点. 函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域. 在收敛域上,函数项级数的和是的函数，称为函数项级数的和函数.（2） 幂级数及其收敛性 定义 形如的级数称为幂级数。其中均为常数，称之为幂级数的系数。 定理 (阿贝尔（Abel）定理) 如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝对收敛; 如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散. 推论 如果幂级数不是仅在一点收敛
9、,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得：当时,幂级数绝对收敛; 当时,幂级数发散; 当时,幂级数可能收敛也可能发散. 这个正数R称为幂级数的收敛半径。 由幂级数在的收敛性就可以决定它在区间 上收敛，这区间叫做幂级数的收敛区间。 规定：(i)若幂级数只在处收敛,则 收敛区间只有一点; (ii) 若幂级数对一切都收敛,则 收敛区间为. 定理 如果幂级数的相邻两项系数有 （或）,则 （i）当时，； (ii)当时， ； (iii) 当时，。应当指出的是，该定理是针对不缺项或仅缺有限项的幂级数而言的，而对缺无穷多项的幂级数，结论并不成立。（3） 幂级数的运算 （i） 四则运算性质
10、 ,则在（-R，R）内有如下代数运算性质: 加减法 乘法 （其中） 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) （ii）和函数的分析运算性质: 性质1 （连续运算）幂级数的和函数在收敛区间内连续;若在端点收敛,则在该端点单侧连续. 性质2 （微分运算）幂级数的和函数在收敛区间内可导, 且有并可逐项求导任意次. (收敛半径不变) 该微分运算性质是说，收敛幂级数可以逐项微分，得到的新级数仍是幂级数，且新级数与原级数有相同的收敛半径，其和函数为原幂级数的和函数的导数。 性质3 （积分运算） 幂级数的和函数在收敛区间内可积,且对可逐项积分， (收敛半径不变) 该积分运算性质是说，收敛幂级数
11、可以逐项积分，得到的新级数仍是幂级数，且新级数与原级数有相同的收敛半径，其和函数为原幂级数的和函数的相应区间上的积分。 简单地说，就是幂级数在收敛区间内可以逐项求导或逐项积分，并且逐项求导或逐项积分后所得的幂级数的收敛半径不变，但在收敛区间的端点处，级数的收敛性可能会改变。利用这些运算性质，可以求幂级数的收敛区间及和函数。 要注意以下几个常用已知和函数的幂级数： 。6幂级数展开式（1） 一般概念 定义 对于函数，若存在及幂级数 ，使 ，则称在点 处可以展开成幂级数。 定义 如果在点处任意阶可导,则幂级数称为在点的泰勒级数。特别地，称为在点的麦克劳林级数，也就是的幂级数。 （2） 充要条件定理
12、在点的泰勒级数,在内收敛于在内.若的泰勒级数在点的某邻域内收敛于，即=，则称的泰勒级数为在处的泰勒展开式。(3)唯一性定理 如果函数在内具有任意阶导数, 且在内能展开成的幂级数,即 ，则其系数 ，且展开式是唯一的. 定理 设在上有定义,对,恒有 ,则在内可展开成点的泰勒级数. （4）函数展开成幂级数的方法 函数展开成的幂级数可以按直接展开法和间接展开法进行：直接展开法 步骤: （i），由此写出幂级数，并求出该幂级数的收敛半径R。 (ii)讨论在区间若有，（即就是在区间（-R，R）内的幂级数展开式）。间接展开法 间接展开法是根据的幂级数展开式的唯一性, 利用一些常见函数的幂级数展开式, 通过变量
13、代换,幂级数的运算性质（如 四则运算, 逐项求导, 逐项积分）及恒等变形等方法,将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简便，而且可以避免研究余项的极限，因而一般采用此方法。(5)常见函数展开式 *7.傅立叶级数(1)三角函数系 三角函数系 正交性 任意两个不同函数在上的积分等于零 （2） 傅立叶级数定义 三角级数称为傅里叶级数，其中（3） 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设是以为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数收敛,并且(i)当是的连续点时,级数收敛于;(ii)当是的间断点时, 收敛于;(ii
14、i)当为端点时,收敛于.（4） 正弦级数与余弦级数如果为奇函数, 傅氏级数称为正弦级数. 当周期为的奇函数展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 如果为偶函数, 傅氏级数称为余弦级数. 当周期为的偶函数展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为 （5） 周期的延拓 奇延拓: 的傅氏正弦级数 偶延拓: 令 的傅氏余弦级数（6） 周期为的周期函数的傅氏展式 设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为 其中 ， 三、典型例题分析例1： 判别无穷级数 的收敛性. 这里，在求级数部分和时，将每一项都拆成两项之差，然后利用相加过程中正负项相抵消，从而求出来。这种方法具有普遍意义。例2： 判定级数 的收敛性。 解：由，可得 ，所以级数发散。 能够
