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1、祥云祥华中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为30，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到的值.【详解】由已知得直线的斜率=,故选:A.2. 在等比数列中，则（ ）A. 64B. 128C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合等比数列的性质求解【详解】由题意得，得，则.由，得.所以.故选：B3. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】联
2、立求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程.【详解】联立，解得，.设与直线垂直的直线方程是将，代入方程，解得故所求方程为故选：D.4. 过点的直线被圆所截弦长最短时的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直，先求出过点的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可.【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直，圆的圆心为，所以过点的直径的斜率为，故所求直线为，所求直线方程为，即.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑
3、思维能力，属于常考题.5. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切【答案】C【解析】【详解】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论详解：圆，圆,，所以内切故选C点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：，内含；，内切；，相交；，外切；，外离6. 已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等差数列前项和公式及等差数列性质得，再由已知，令，代入求值即可.【详解】由都是等差数列，设公差分别为，则，则，故不妨令，所以，.故选：B.7. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上
4、、中、下三层上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（ ） A. 1125块B. 1134块C. 1143块D. 112块【答案】B【解析】【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列，再根据等差数列及其前n项和的性质进行求解即可.【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有环，则，由等差数列的性质可得，也成等差数列，所以，所以，所以，所以中层共有
5、扇面形石板1134块故选：B8. 已知分别为双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】过分别作垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可；【详解】过分别作的垂线，垂足分别为，则，则，又，则，即在直线上，则，又，则，即，故离心率为，故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知是等差数列
6、，其前n项和为，则下列结论一定正确的有（ ）A. B. 最小C. D. 【答案】AC【解析】【分析】利用等差数列的性质，对通项与前n项和的基本量进行计算.【详解】根据题意，数列等差数列，设公差为，若，得，所以选项A正确；，如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；如果，则，由，时，则没有最小值，所以选项B错误；，得，所以选项C正确；，所以选项D错误.故选：AC.10. 已知数列满足（为正整数），则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则所有可能取值的集合为C. 若，则D. 若为正整数，则的前项和为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由递推关系直接验算即可；对于B，结合是正整数分类讨论反
7、推即可；对于C，写出前面几项，发现周期规律，由此即可验算；对于D，由等比数列求和公式即可求解.【详解】对于A，故A错误；对于B， 若，则只能（否则，于是奇数矛盾），从而（否则，于是奇数矛盾），进而由递推关系，故B正确；对于C，所以从开始数列呈现周期为3，均能被3整除，所以，故C正确；对于D，则的前项和为，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：B选项的关键是结合是正整数进行反推，由此即可顺利得解.11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 若为的中线，则B. C. 存在直线使得D. 对于任意直线，都有【答案
8、】ABD【解析】【分析】取，两点都在第一象限, 设，Ax1,y1,Bx2,y2，联立抛物线，利用韦达定理以及抛物线定义来判断各项正误.【详解】不妨取，两点都在第一象限，过分别作抛物线准线的垂线，垂足为，设，联立，得且，即，所以，则，对于A：若为的中线，则，结合得，所以，所以，此时，所以，A正确；对于B：由求根公式，则，所以，B正确；对于C：若，即，明显等腰直角三角形，此时，即，所以，解得，此时，此时为同一点，不合题意，C错误；对于D：，又，结合，都恒成立，D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直
9、线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）12. 若正项数列满足（，），且，则_【答案】【解析】【分析】由题意可得，从而可得数列是首项为，公差的等差数列，从而可求得，进而可求解.【详解】因为（，），所以，所以数列是首项为，公差的等差数列，所以，又因为，所以.故答案：13. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【详解】试题分析：设A ，B ，则，M是线段AB的中点，直线AB的方程是，过
10、点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即考点：椭圆简单性质14. 已知圆：，圆：，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，当取到最小值时，点坐标为_.【答案】【解析】【分析】，则，可看成点P到两定点，的距离和，而A,B两点在x轴的两侧，所以A,B连线与x轴的交点就是所求点P.【详解】的圆心为，半径，的圆心为，半径，设，则，所以，取， 则，当三点共线时取等号，此时AB直线：， 令，则，所以，故答案为：【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点P到两定点，的距离和的最小值.四、解答题（本大题共5题
11、，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤）15. 已知等差数列的前 项和为，正项等比数列的前 项和为.（1）若，求数列的通项公式;（2）若，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意建立方程组求解等差与等比数列的基本量，再求通项；（2）由题意建立方程组求解等差与等比数列的基本量，再求.【小问1详解】设 的公差为的公比为，由，得，又，得，联立解得 (舍去)，或，因此数列的通项公式为；【小问2详解】由，得，解得(舍)或，当时，由，得解得，则.16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点（）求直线与平面的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值【答案】（）（）【解析】【分析】
12、（）证明直线平面，建立空间直角坐标系，求直线与平面的距离，转化为点到平面的距离；（）若，求出平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的平面角的余弦值【详解】（）证明：在矩形中，又平面，平面，所以平面如图，以为坐标原点，射线、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系设，则 ，0，0，0，因此，0，0，则，因为，所以平面又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为（）解：因为，所以，设平面的法向量，则，又，0，故所以，可取，则，2，设平面的法向量，则，又，0，故所以，可取，则，1，故，【点睛】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决
13、问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题17. 已知数列的前n项和（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的最大项是该数列的第几项【答案】（1） （2）第项【解析】【分析】（1）根据求通项即可；（2）根据得到，然后列不等式求最大项即可.【小问1详解】当时，不满足上式，当时，故数列的通项公式为.【小问2详解】由已知得，当时，则，即，得， 即，所以当，的最大项为第7项，又，所以数列的最大项是该数列的第项.18. 已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.（1）设直线，的斜率分别为，证明：；（2）设线段AB的中点为N，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）设切线方程，分别用点的横坐标表示，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果；（2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得点坐标，从而得到MN，再由弦长公式可得AB，由的表达式求取值范围即可.【小问1详解】由题意知，直线l的斜率存在，设点Ax1,y1，Bx2,y2，直线l的方程为，由得，.由，得切点，则切线的方程为，代入，得，所以，解得，同理，得切线的斜率，所以.【小问2详解】由（1）可得，故，.由（1）得，可化为，同理得，由，得，即，则.，所以.由，得，故，即的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，
