《2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷（含答案）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线 3x+y=0的倾斜角为()A. 3B. 6C. 56D. 232.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，OM=23OA，点N为BC的中点，则MN=()A. 12a23b+12cB. 23a+12b+12cC. 12a+12b12cD. 23a+23b12c3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2，焦距为2 3，则该椭圆的离心率为()A. 12B. 23C. 32D. 634.过A(6,0)
2、和B(0,8)两点的面积最小的圆的标准方程为()A. (x3)2+(y+4)2=10B. (x+3)2+(y4)2=100C. (x3)2+(y+4)2=25D. (x+3)2+(y4)2=255.已知P(4,5)与Q(2,7)关于直线l对称，则下列说法中错误的是()A. 直线l过P，Q的中点B. 直线PQ的斜率为13C. 直线l的斜率为3D. 直线l的一个方向向量的坐标是(1,3)6.已知过原点的直线l与圆C：(x2)2+y2=1相交，则直线l的斜率的取值范围为()A. ( 3, 3)B. 33, 33C. ( 33, 33)D. ( 2, 2)7.已知a,b,c是空间的一个基底，a+b,a
3、b,c是空间的另一个基底，一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底a+b,ab,c下的坐标是()A. (4,0,3)B. (3,1,3)C. (1,2,3)D. (2,1,3)8.从直线xy+2=0上的点向圆x2+y24x4y+7=0引切线，则切线长的最小值为()A. 22B. 1C. 24D. 2219.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=90，BAA1=DAA1=60，则AC1的长为()A. 10B. 61C. 70D. 8510.已知P是椭圆x216+y212=1上一动点，Q是圆(x+2)2+y2=1上一动点，点M(5,4
4、)，则|PQ|PM|的最大值为()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|=_12.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5，则实数a的值为_13.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，点M为线段B1D1的中点，则直线DM与直线BC所成角的余弦值为_14.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y22x+2y=0，则两圆公共弦所在直线的方程为_；公共弦长_三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(
5、本小题12分)已知椭圆C的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若|AF2|=2|BF2|，|AB|=|BF1|，则C的方程为_16.(本小题12分)在ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)()求点A到直线BC的距离；()求线段AC垂直平分线所在的直线方程；()求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线的方程17.(本小题12分)已知直线l1：x+y1=0与圆C：x2+y22ax2y=0(a0)交于A，B两点，且CAB=30()求实数a的值；()若点P为直线l2：x+y+2=0上的动点，求PAB的面积18.(本小题12分)如图，在四棱锥PABCD中，P
6、D=2,AD=1,PDDA,PDDC，底面ABCD为正方形，M,N分别为AD,PD的中点(1)求证：PA/平面MNC；(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；(3)求点B到平面MNC的距离19.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且AF1AF2=0，动直线l与椭圆交于P，Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过点E(1,0)，椭圆的左顶点为B，当BPQ面积为 10时，求直线l的斜率k参考答案1.D2.B3.C4.C5.B6.B7.B8.B9.D10.B11.512.1或5813
7、. 3314.xy2=02 215.x212+y28=116.解：()因为A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)，由题可知直线BC的斜率为kBC=2545=3，所以直线BC的方程为y5=3(x5)，即3xy10=0；由点到直线距离公式可得点A到BC的距离d=|3110| 32+(1)2=4 105，即点A到直线BC的距离为4 105；()易知AC=(4,4)，且过AC的中点(3,3)，可得该直线的点法式方程为4(x3)+4(y3)=0，即x+y6=0；()当在x轴和y轴截距都为0时，此时直线过B(4,2)，O(0,0)，此时直线方程为x2y=0；当在x轴和y轴截距不为0时，因为直线在x，y轴
8、的截距相等，可得直线方程为x+y=a，将点B(4,2)代入可得4+2=a，可得a=6，此时直线方程为：x+y6=0；综上可知，过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程为x2y=0或x+y6=017.解：()将圆C：x2+y22ax2y=0(a0)可化为(xa)2+(y1)2=a2+1，所以其圆心C(a,1)，半径r= a2+1，作CDAB于点D，由垂径定理可得D为AB的中点，由CAB=30可得CD=12AC=12r，又CD=|a| 1+1=|a| 2= a2+12，解得a=1；()由(1)可知CD= 22，所以AB=2 3CD= 6，又直线l2：x+y+2=0与直线l1：x+y1=0平行，所以点
9、P到AB的距离为d=|2+1| 1+1=3 22，因此S=12ABd=12 63 22=3 32，即PAB的面积为3 3218.解：(1)证明：M，N分别为AD，PD的中点，PA/MN，又PA平面MNC，MN平面MNC，PA/平面MNC；(2)由已知可得DA，DC，DP两两垂直，如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，因为AD=1，则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),M(12,0,0),N(0,0,1)，所以PB=(1,1,2),NC=(0,1,1),MN=(12,0,1)，设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，则nMN=12x+z=0nNC=yz=0，可取n=(2,1
10、,1)，设直线PB与平面MNC所成角为，则sin=|cos|=nPBnPB=16；(3)由(2)，得BC=1,0,0，因为平面MNC的法向量n=(2,1,1)，所以点B到平面MNC的距离d=nBCn=12+10+10 4+1+1= 6319.解：(1)易知椭圆C的上顶点A(0,b)，左，右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，所以AF1=(c,b)，AF2=(c,b)，因为AF1AF2=0，所以AF1AF2=c2+(b)2=0，即b2=c2，又a2b2=c2，所以a= 2b， 因为当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2，所以2b2a=2， 联立，解得a=2，b= 2，则椭圆方程为x24+y22=1；(2)不妨设直线l的方程为x=my+1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立x24+y22=1x=my+1，消去x并整理得(m2+2)y2+2my3=0，由韦达定理得y1+y2=2mm2+2，y1y2=3m2+2，则SF1PQ=12|EB|y1y2|=123 (2mm2+2)243m2+2= 10，解得m=1，故直线的斜率为1第6页，共6页
