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1、2024-2025学年广东省领航高中联盟高二（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点(0,3)且倾斜角为150的直线l的方程为()A. 3x+y3=0B. x+ 3y3 3=0C. x+ 3y+3 3=0D. x 3y3 3=02.已知向量a=(3,2,4)，b=(1,)，若a，b共线，则+=()A. 23B. 23C. 43D. 433.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的面积为6
2、 2，焦距为2 6，则C的离心率为()A. 24B. 12C. 22D. 324.已知四面体ABCD如图所示，点E为线段CD的中点，点F为ABC的重心，则EF=()A. 23AB16AC12ADB. 23AB13AC12ADC. 13AB13AC23ADD. 13AB16AC12AD5.已知t0,1，且点M(2+t,5t3)，P(0,1)，则直线MP的倾斜角的取值范围是()A. 4,4B. 34,)C. 4,34D. 0,434,)6.已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，点M在C上，且M在x轴上的射影为F，若2 3|MF|= 2|OF|，则C的渐近线方程
3、为()A. y= 2xB. y=2xC. y= 22xD. y=12x7.若一束光线从点A(1,1)处出发，经过直线l：y=x+3上一点P反射后，反射光线与圆C：(x4)2+(y4)2=1交于点Q，则光线从点A到点Q经过的最短路线长为()A. 5B. 6C. 7D. 88.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值(0且1)的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点P在边长为6的正方形ABCD内(包含边界)运动，且满足|PA|=2|PB|，则动点P的轨迹长度为()A. 16B. 4C. 163D. 43二、多选题：本
4、题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,1,2)，b=(3,2,2)，则()A. a2b=(4,5,6)B. |a|= 5C. abD. cosa,a+b=3 262610.已知点A(1,1)，直线l：x2y+3=0，圆C：x2+y2+4x4y=0，则()A. 直线l的一个方向向量为a=(1,2)B. 点A到直线l的距离为2 55C. 圆C上的点到点A的距离的最大值为 10+2 2D. 直线l被圆C截得的弦长为2 165511.已知F1，F2分别是双曲线C：x2y23=1的左、右焦点，经过点F1且倾斜角为钝角的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两
5、点，点P为C上第二象限内一点，则()A. 若双曲线E与C有相同的渐近线，且E的焦距为8，则E的方程为x24y212=1B. 若M(2,2)，则|PF1|+|PM|的最小值是2 52C. 若PF1F2内切圆的半径为1，则点P的坐标为(2,3)D. 若线段AB的中垂线过点F2，则直线l的斜率为 155三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：(x2)2+y2=1，则C1，C2的公切线方程为_.(写出一条即可)13.已知六面体ABCDE如图所示，其由一个三棱锥CABD和一个正四面体ABDE拼接而成，其中CA=CB=CD=2，DE=2 2，若F为线段AC
6、的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为_14.已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1PF2，若C1和C2的离心率分别为e1，e2，则1e1+1e2的取值范围是_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线l过点(3,5)(1)若直线l与直线l：2x7y1=0垂直，求l的方程；(2)若直线l与圆C：x2+y2+2y8=0相切，求l的方程16.(本小题15分)已知双曲线C：x22y26=1，直线l与C交于M，N两点(1)若l的方程为xy3=0，求|MN|；(2)若MP=12MN，且P(1,3
7、)，求l的斜率17.(本小题15分)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=12AA1=6，点E，F分别是线段AA1，CC1上靠近A1，C的四等分点(1)求点B1到平面D1EF的距离；(2)求平面D1EF与平面B1AC的夹角的余弦值18.(本小题17分)已知等腰梯形ABCD如图1所示，其中AD/BC，BAD=45，点E在线段AD上，且BEAD，AD=3BC，现沿BE进行翻折，使得平面ABE平面BCDE，所得图形如图2所示(1)证明：CDAE；(2)已知点F在线段CD上(含端点位置)，点G在线段AF上(含端点位置)(i)若CF=2DF，点G为线段AF的中点，求AC与平面BEG所成角的
8、正弦值；(ii)探究：是否存在点F，G，使得AF平面BEG，若存在，求出AGAF的值；若不存在，请说明理由19.(本小题17分)如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点M作x轴的垂线交其“伴随圆”于点N，称点N为点M的“伴随点”.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)上的点( 3,12)的一个“伴随点”为( 3,1)(1)求椭圆E的方程；(2)过点(3,0)的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称(i)证明：直线BC恒过定点；(ii)记(i)中的直线BC所过的定点为T，若B，C在直线x=3上的射影分别为B1，C1(B1,C1为不
9、同的两点)，记TBB1，TCC1，TB1C1的面积分别为S1，S2，S3，求S1+S2S3的取值范围参考答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】ACD10.【答案】BC11.【答案】BCD12.【答案】x=113.【答案】 2614.【答案】( 2,2)15.【答案】解：(1)易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线l与直线l：2x7y1=0垂直，因为直线l的斜率为27，则k=72，故直线l的方程为y(5)=72(x3)，即7x+2y11=0(2)依题意，圆C：x2+(y+1)2=9，若直线l的斜率
10、不存在，即直线l的方程为x=3，此时直线l与圆C相切，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y+5=k(x3)，即kxy3k5=0，故圆心(0,1)到直线l的距离d=|3k+4| 1+k2=3，解得k=724，此时直线l的方程为y=724x338，综上所述，直线l的方程为y=724x338或x=316.【答案】解：(1)设M(x1,y1)，N(x2,y2)；联立xy3=0x22y26=1，消去y并整理得2x2+6x15=0，此时=6242(15)=1560，由韦达定理得x1+x2=3，x1x2=152，则|MN|= 1+k2|x1x2|= 1+k2 (x1+x2)24x1x2= 2 9
11、+30= 78；(2)若MP=12MN，此时P(1,3)为线段MN的中点，所以x1+x2=2，y1+y2=6，联立M，N两点均在双曲线上，所以x122y126=1x222y226=1，两式相减得(x1x2)(x1+x2)2(y1y2)(y1+y2)6=0，整理得y1y2x1x2=1，所以直线l的斜率为1，此时直线方程为y3=x1，即y=x+2，联立y=x+2x22y26=1，消去y并整理得x22x5=0，此时=(2)24(5)=240故存在直线l，使得直线l的斜率为117.【答案】解：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=12AA1=6，点E，F分别是线段AA1，CC1上靠近A1，C的
12、四等分点，(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(6,6,12)，D1(0,0,12)，E(6,0,9)，F(0,6,3)，可得D1E=(6,0,3)，D1F=(0,6,9)，B1E=(0,6,3)，设n=(x,y,z)为平面D1EF的法向量，则nD1E=6x3z=0nD1F=6y9z=0，令z=2，则y=3，x=1，可得平面D1EF的一个法向量n=(1,3,2)，故点B1到平面D1EF的距离d=|B1En|n|=24 14=12 147(2)由A(6,0,0)，C(0,6,0)，可得B1C=(6,0,12)，B1A=(0,6,12)，设m=(x1,y1,z1)为平面B1
13、AC的法向量，则mB1A=6y112z1=0mB1C=6x112z1=0，令z1=1，则x1=y1=2，可得m=(2,2,1)为平面B1AC的一个法向量，记平面D1EF与平面B1AC的夹角为，故cos=|cosm,n|=|mn|m|n|=6 143= 147故平面D1EF与平面B1AC的夹角的余弦值为 14718.【答案】(1)证明：因为平面ABE平面BCDE，AEBE，平面ABE平面BCDE=BE，AE平面ABE，所以AE平面BCDE，而CD平面BCDE，故CDAE；(2)解：由题意易知EB，ED，EA两两垂直，故以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直
14、角坐标系， 不妨设BC=1，则BE=AE=12DE=1，AD=3BC=3，可得AE=BE=1，()因为BAD=45，等腰梯形ABCD中，BEAD，则A(0,0,1)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，E(0,0,0)，F(13,53,0)，G(16,56,12)，故EB=(1,0,0)，EG=(16,56,12)，设n=(x,y,z)为平面BEG的法向量，则nEB=0nEG=0，即x=016x+56y+12z=0，令z=5，则x=0，y=3，可得n=(0,3,5)为平面BEG的一个法向量，而AC=(1,1,1)，ACn=01+13+(1)(5)=8，|AC|= 12+12+(1)2= 3，|n|= 02+32+(5)2= 34，所以cos=ACn|AC|n|=8 3 34=4 10251，设直线AC与平面BEG所成的角为，0,2，所以sin=|cos|=4 10251；()由题意D(0,2,0)，设EF=EC+(1)ED=(,
