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1、华侨城高级中学2024届高三深圳一模适应性考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知向量，且，则m=A. 8B. 6C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案【详解】，又，34+（2）（m2）0，解得m8故选D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题2. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】由空间中线线、线面、面面之间位置
2、关系逐一判定各选项即可.【详解】若，设对应法向量分别为，也是m,n的方向向量，由，即，则，故A正确；若，则与可能平行或相交，故B错误；若，则，或，或n与相交，故C错误；若，则，又，则或，D错误.故选：A3. 已知为等差数列的前n项和，则（ ）A. 60B. 120C. 180D. 240【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式运算.【详解】因为数列为等差数列，所以，所以，所以故选：B.4. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型
3、概率公式即得.【详解】当时，这6个点数的中位数为3，当时，这6个点数的中位数为4，当时，这6个点数的中位数为4.5，故由古典概型概率公式可得：.故选：A.5. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值.【详解】由题意，解得，所以，当时，所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立.故选：C.6. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b5，c2acosA，则cosA（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.【详解】解：因为c2a
4、cosA，由余弦定理可得，将a3，b5代入整理得，所以.故选：D.7. 已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点. 若，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程可得，可得，再结合椭圆定义及离心率公式可得解.【详解】如图所示，由已知，则一条渐近线，即，又，即，且四边形为矩形，所以，则，又根据椭圆定义可知，所以离心率，故选：D.8. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为函数为偶函数，则
5、，即，又因为函数为奇函数，则，即，联立可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x12345销量y（万件）5096142185227若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A. 线性回归方程必过B. C. 相关系数D. 6月份的服装销量一定为272.9万件【答案】AB【解析】【分析】对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将
6、样本中心点代入回归方程求解，对于C，由的值分析判断，对于D，将代入回归方程求解.【详解】对于A，因为，所以线性回归方程必过，所以A正确；对于B，由线性回归直线必过，所以，解得，所以B正确；对于C，因，所以相关系数，所以C错误；对于D，当时，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误故选：AB10. 设，为复数，下列命题中正确的是（）A. B. 若，则与中至少有一个是0C. 若，则D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】设，则，A选项正确.若，则，则或，所以与中至少有一个是0，B选项正确.若，则可能，C选项错误.，D选项正确.故选：
7、ABD11. 已知圆C：，则下列命题是真命题的是（ ）A. 若圆关于直线对称，则B. 存在直线与所有的圆都相切C. 当时，为圆上任意一点，则的最大值为D. 当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则最小值为4【答案】BCD【解析】【分析】根据圆关于直线对称，得得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D.【详解】解：圆C：，整理得：，所以圆心，半径，则对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，得，又时，方程不能表示圆，故A是假命题；对于B，对于圆，圆心为，半径，则，
8、当直线为时，圆心到直线的距离，故存在直线，使得与所有的圆相切，故B是真命题；对于C，当时，圆的方程为，圆心为，半径由于为圆上任意一点，设，则式子可表示直线，此时表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定的取值范围,于是圆心到直线的距离，解得或，则，所以的最大值为，故C为真命题；对于D，圆的方程为，圆心为，半径，如图，连接，因为直线与圆相切，所以，且可得，又，所以，且平分，所以，则，则最小值即的最小值，即圆心到直线的距离，所以的最小值为，故D为真命题.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由题意，若
9、，则，求解即可【详解】由题意，集合，集合若则，解得故实数的取值范围为故答案为：13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为_.【答案】#1:7【解析】【分析】由题意，根据圆锥侧面积计算公式，求的圆锥底面半径、母线，结合三角形相似即可求出小圆锥和圆台的体积之比.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，由题意，故， 作圆锥轴截面如下图：所以，所以圆锥体积为，因为用与底面的距离为的平面截圆锥，故，且，所以小圆锥体积，所以圆台的体积，故小圆锥和圆台的体积之比为.故答案：14. 已知数列的首
10、项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由已知等式可得或，首先求出数列为等差数列或等比数列时正整数的值，然后再讨论为等差和等比交叉数列，要使的值最小，可利用递推关系式所满足的规律进行推导得出结果.【详解】根据可知或；当时，数列是以为首项，1为公差的等差数列；所以，则，可得；当时，数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以，则，解得，不合题意，舍去；若数列为等差和等比交叉数列，又易知；若要使的值最小，则，此时，即；故正整数的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式讨论若数列为等差和等比各
11、项交叉所得的数列，若要使的值最小，则需尽可能利用对数列中的项进行缩减，进而利用首项求出的值.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数，a，若在处与直线相切（1）求a，b的值；（2）求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、的值；（2）由（1）可得的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求出区间端点的函数值，即可得解；【小问1详解】解：函数，函数在处与直线相切，解得；【小问2详解】解：由（1）可得，所以当
12、时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值，所以，又，所以16. 如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明：取的中点，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】证明：取的中点，连接.因为为圆弧的两个三等分点，所以.因为分别为的中点，所以，则，从而四边形为平行四边形，
13、故.因为平面平面，所以平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，则.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.设平面与平面所成锐二面角为，则.故平面与平面所成锐二面角余弦值为.17. 某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望【答案】（1）； （2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用古典概率公式即求；（2
14、）由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.【小问1详解】从这6人中随机选出2人，共有种选法，其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有种，故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为【小问2详解】由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，故X的分布列为：X5678P18. 设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4（1）求a；（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标【答案】（1）； （2）证明见解析，定点【解析】【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标
