第一章 有理数1.2.2《数轴》 一、教材分析本节课《数轴》是人教版初中数学七年级上册第一章第二节《有理数》2课时，内容包括数轴的概念，用数轴上的点表示有理数的内容.学生在前面学习中已经认识了有理数，能够用正数和负数表示相反关系，有了进一步将位置、方向、距离等统一起来的基础.在此基础上，给出数轴的概念，进一步把数和形统一起来，并利用数轴建立了直线上的点与实数的对应，为后面学习相反数、绝对值、大小比较打下良好的基础.数轴是理解有理数的概念与运算的重要工具，非常直观地把数与点结合起来，能让学生感受数与形是可以相互转化的，同时渗透着初步的数形结合的思想利用这个数学工具不但可以理解有理数的概念、绝对值、相反数、有理数大小比较、有理数的运算等，并对今后学习直角坐标系和函数的学习起着举足轻重的作用 二、学情分析《数轴》这个单元是在学生认识了有理数的相关概念，能够应用正数和负数解决问题的基础上进行学习，学生已经具备了一定的分析能力，也能做出简单的逻辑推理，可以借助生活中的实例来进行有关数轴知识的学习，能通过具体的实物来理解数轴这一抽象的数学工具，能理解用数轴上的点表示实数.本课立足于学生的“学”，要求学生多观察与思考，通过小组成员间的探讨，感受生活情境中的数学，从而可以帮助学生形成数学来源于生活，有应用于生活的理念，培养“三会”的数学核心素养.因此课堂采用自主探究和合作交流的方法组织教学，使每位学生都参与到课堂当中，体会到数学的乐趣!. 三、教学目标1.掌握数轴的三要素，能正确画出数轴，会利用数轴上的点表示给定的有理数，进一步深入理解0的基准意义．2.能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数.3.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.4.通过对数轴的探究，培养学生的观察、分析、归纳的能力，通过数轴让学生体会数形结合的数学思想．5.通过对数轴的学习，使学生体会数学与实际生活的密切联系，增强学生学好数学的意识． 四、教学重难点重点：掌握数轴的三要素，能正确画出数轴，会利用数轴上的点表示给定的有理数，进一步深入理解0的基准意义．难点：掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系. 五、教学过程n 活动一 回顾正负数的应用情景：在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50m和西100m处分别有一个书店和一个医院，以学校为“ 基准”，用正负数表示书店、医院的位置.师生活动：小组形式汇报．设计意图：通过实际问题的引入，巩固加深学生对正、负数的理解，并引发学生的思考，为学习新课做铺垫.n 活动二 真实举例探数轴问题1：在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.分析：注意方向（东西向）、参照物（汽车站牌）、距离（3 m、7.5 m、3 m和4.8 m）画法：1.画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度（线段OA的长）代表1m长.2.在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和交通标志杆的位置；3.点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置.师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示．问题2：怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？答：用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了.总结：表示东西向马路上的物体与汽车站牌的相对位置关系，站牌起“基准点”作用，站牌“左”“右”具有相反意义，是不同方向，所以既要考虑距离，又要考虑方向，可用正数、负数描述.问题3：图中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线，它和上一组问题中画出的直线有什么共同点？不同点是什么？答：共同点：都是用一条直线上的点表示正数、0、负数.不同点：刻度单位长度不同，直线方向不同… 概念归纳：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件：(1)在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点；(2)通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示你1，2，3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，….像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.师生活动：老师提问学生举手回答问题．设计意图：通过学生参与小组活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，通过实际问题抽象出来的数学表示方法，引出数轴的概念，易于学生理解.n 活动三 结合定义理解数轴问题4：结合数轴的定义，思考下面问题：（1）归纳一下数轴的一般画法.（2）“原点”起什么作用？如何理解“选取适当的长度”？答：(1)①画直线，定原点；②从原点向右(或上)的方向为正方向，从原点向左(或下)为负方向；③选取适当长度为单位长度；④在数轴上标出1、2、3、-1、-2、-3等各点.总结：画数轴的一般步骤：①画直线，定原点；②标正方向；③选单位长度；④标出各点．(2)原点是数轴的基准点，表示数0，是正数和负数的分界点.“选取适当的长度”是指根据问题的需要选取单位长度，使数轴画出的部分长度合适，表示数的点间隔合适.总结：0是正数和负数的分界；原点是数轴的“基准点”．注意：在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一.问题5：（1）观察下面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边？（2）有理数与数轴上的点有什么关系？（3）数轴上每个数到原点的距离是多少？你能总结一下吗？ 答：(1)负数在原点的左边，正数在原点的右边.(2)任何有理数都能用数轴上的点表示出来，且在同一个数轴上，一个有理数对应一个点，例如，在数轴的正半轴上，距离原点3个单位长度的点表示数3；在数轴的负半轴上，距离原点32个单位.总结归纳：一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 -a 的点在数轴的负半轴上， 与原点的距离是 a 个单位长度．数轴上与原点的距离是 a 个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是 a 的点.设计意图：通过学生参与小组活动，培养学生主动思考的能力，通过对数轴相关问题的探究，让学生深入理解数轴的概念.n 活动四 数形结合用数轴【经典例题】如图：数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？解：点A表示－2.5，点B表示－1，点C表示0，点D表示5.总结：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但注意数轴上的点不都表示有理数.【教材例题】画出数轴，并在数轴上表示下列各数： 3，−4，4，0.5，0，−52，−1分析：先找到数轴上的0点，正数在0的右侧，负数在0的左侧.解: 总结：由数定点的一般步骤：①根据符号确定点在原点左侧还是右侧;②根据除符号外的数值确定与原点的距离③把该点描成实心小圆点;④在小圆点上方写上该有理数.师生活动：学生先独立思考再作答.设计意图：这些问题是这节课的主要知识，教师要清楚地向学生说明，并且要注意语言的准确与规范，要舍得花时间让学生充分发表想法，使学生对定义数轴的实际问题中的涉及的其他概念的意义有一个系统的认识，深入理解数轴，并学会应用数轴解决问题.n 活动五 运用新知显身手【教材练习】1. 如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数． 2.画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：−5，3.5，−72，−12，32，5，92． 3.在数轴上，表示−2与4的点之间 （包括这两个点）有 个点表示的数是整数，它们表示的数分别是 ，其中负整数 个． 4.在数轴上，点A 表示的数是−3，从点A 出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是多少？答案：1. A:0，B:−2，C:1，D:52，E:−3.2.3.7；-2，-1，0，1，2，3，4 ；2 4.1或-7师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解数轴的定义及应用.n 活动六 限时5分测测看1.关于数轴，下列说法最准确的是( ) A.一条直线 B.有原点、正方向的一条直线 C.有单位长度的一条直线 D.规定了原点、正方向、单位长度的直线答案：D2.有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则( )A.a,b,c 均是正数 B.a,b,c 均是负数C.a,b是正数,c 是负数 D.a,b是负数,c 是正数答案：D3.一个点从数轴上表示-2的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（ ）A.-2 B.-3 C.3 D.2答案：C4.数轴上的点A到原点的距离是4个单位长度，则点A表示的数是______．答案：4或-45.如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示哪个有理数？答案：点A表示32，点B表示−12，点C表示−52，点D表示0.设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.n 活动七 课堂总结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.1.本节课你学到了什么？2.数轴的定义是什么？3.数轴上的点到原点的距离是多少？设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.n 实践作业查阅北京中轴线相关资料，以故宫为原点，绘制一条数轴，用数轴描述出北京中轴线上的建筑位置. 六、板书设计 七、教学反思本节课是第一章“有理数”1.2有理数第2课时，数轴这一节是初中数学中非常重要的内容，从知识上讲它是数学学习和研究的重要工具，同时也是学习直角坐标系的基础，从思想方法上讲，数轴是数形转化、结合的重要媒介，是数形结合的起点，而数形结合是学生理解数学、学好数学的重要思想方法.所以本节课不仅是发展学生原有的认知结构，形成新的知识体系的主要通道，而且是渗透数学思想方法，感受数学的应用价值以及增强学生数感的有效载体.本节课在学生学习了有理数概念的基础上，借助教材的例子--标记建筑物的位置、有刻度的温度计表示温度高低这两个事例，创设情境，进行教学，意在激发学习数学的兴趣，体会到数学和生活息息相关，通过讨论与探索，使学生接受数轴可以表示数，理解数轴的定义及三要素是本节课的教学重点，所以可以通过让学生观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，能帮助学生更好的加深对数轴概念的理解.教学过程突出了情境到抽象到概括的主线，教学方法体现了特殊到一般，让学生充分体验数形结合的数学思想方法.注意从学生的知识经验出发，充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂上感悟知识的生成、发展与变化，培养学生自主探索的学习方法.。