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1、专题11 利用导数研究方程的根一、单选题1若方程有三个不同的实数根,则的取值范围( )ABCD【解析】设,令,解得或,则,随的变化如下表 单调递增极大值4单调递减极小值单调递增则当时,函数有极大值;当时,函数有极小值,又当时,当,所以当时,有三个不同的实数根,此时,故选:.2若关于的方程有两个实数根,则实数的取值范围是( )ABCD【解析】由题意得,设,.当时,为增函数;当时,为减函数,且.所以有最大值,简图如下,由图可知,时符合题意.故选:C.3若关于的方程有实数根,则实数的取值范围是( )ABCD【解析】,当时,无实数解,不符合题意,故.于是有,令,显然当时,;当时,.,当时,函数单调递减
2、,当时,函数单调递增,因此当时,函数的图象一致如下图所示:因此要想有实数根,只需方程组:有交点,如上图,则有实数的取值范围是.故选:D4已知是方程的实根,则关于实数的判断正确的是( )ABCD【解析】设,其中,则函数在上为单调递增函数,且当时,函数,且,可得方程的实根,则,又由,可得,即,构造新函数,可得,所以在上为单调递增函数,可得,因为实数是方程的实根,则,即,所以,即,所以A正确,B不正确.令,可得,为单调递增函数,由,即,所以,又由,且,所以,所以C、D不正确.故选:A.5已知函数在上是增函数,在0,2上是减函数,且方程有3个实数根,它们分别是,2,则的最小值是( )A5B6C7D8【
3、解析】由,求导得,在上是增函数,在0,2上是减函数,即,此时的另外一个根为,且方程有3个实数根,它们分别是,2,即,且,所以,化简函数,所以则,所以,因为,所以,所以的最小值是5.故选:A.6已知函数,若关于的方程有四个不同的实根,则实数的取值范围是( )ABCD【解析】当时,当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增,当时,故在上单调递减,在上单调递增,其大致图象如图所示,由,得,令,关于的方程有四个不同的实根等价于函数,的图象有四个不同的交点.当时,的图象在点处切线斜率为,该切线过点时,满足,即,解得,所以的图象过点的切线斜率为;的图象在点处的切线斜率为,该切线过点时,因为,解得,所以的
4、图象过点的切线斜率为.结合函数图象可知,当的取值范围是时,的图象有四个不同的公共点.故选:A.7已知关于x的方程在上有两解,则实数k的取值范围为( )ABCD【解析】由的方程,则,设,则,令,则,即在上为增函数,当时,当时,关于的方程在,上有两解,又,即,故选:B8设函数,若存在区间,使在上的值域是,则的取值范围是( )ABCD【解析】,设,则,当时,递增,当时,递减,故,故在区间上递增,又,故在上单调递增在上的值域为又上的值域是,故,存在区间满足题意,等价于方程在上至少有两个不等正根,分离参数得,令,则题意等价于函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点,得,由得,当得,得在递减,在递增,
5、又当时,趋近于时,趋近于题意等价于,故选:B 二、多选题9若函数的图像和直线yax有四个不同的交点,则实数a的取值可以是( )A4B2C0D【解析】当时,由得,即;当时,由得,此时是方程的一个根,当时,得,设,所以原题等价于函数的图像和直线有三个不同的交点,当时,由得,此时单调递增;由得,此时单调递减,故,取得极小值;当时,作出的函数图象,如图:数形结合知:要使函数的图像和直线有三个不同的交点,则实数a满足或,结合选项知BD符合.故选:BD.10已知函数,若,则的可能取值为( )ABCD【解析】由题意得,因为,易得f(x)在(-,)上单调递减,在(,+)上单调递增,又当x(,0)时,f(x)0
6、,作函数的图象如图所示.由图可知,当t0时,有唯一解,故,且,设,则,令解得t=e,易得在(1,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,即的取值范围为.故选:BC.11已知函数(为自然对数的底数),若关于的方程有且仅有四个不同的解,则实数的值可能为( )ABCD【解析】设,则是偶函数,由已知0有4个解,所以时,有2个解 时,显然不是方程的解,因此有两个正实根设,则,当且时,时,在和上单调递减,在上单调递增,时,是极小值,所以时, ,而且时,时,所以有两个正实根时,只有CD满足故选:CD12已知函数,若关于的方程的解,则实数的可能取值为( )ABC0D1【解析】,当时,故在单调递减,则恒成立,则
7、当时,在无解,故C错误;令,若,则时,此时恒成立,显然D错误;对于A,B,当时,在上恒为正,故在上单调递增又因为,在上存在唯一零点,当,;,在上单调递减,在上单调递增,而,故在上存在唯一零点,A,B正确故选:AB.三、填空题13若函数的图像与轴有三个不同的交点,则实数的取值范围是_【解析】,所以当和时,单调递增,当时,单调递减,极大值,极小值,的图像与轴有三个不同的交点,所以,得14函数,若方程有一个解,则的取值范围为_【解析】,在上,单调递减;在上,单调递增;当时,取得极小值.当时,,当时当时当时当趋近于时趋近于,函数的图象如图所示.方程有一个解,等价于函数的图象与水平直线有且只有一个公共点
8、,或15已知函数,若方程有三个不同的实数根,则实数的取值范围为_.【解析】当时,此时,所以不是方程的根,当时,方程可化为: ,设,方程有三个不同的实数根,即与函数的图像有3个交点.当时,此时单调递减,且,当时,则,当时,当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减.且时,当时,时,.作出的图象如图.由图可得:当时,与函数的图像没有交点当时,与函数的图像有1个交点当时,与函数的图像有2个交点当时,与函数的图像有3个交点当时,与函数的图像有2个交点所以方程有三个不同的实数根,则实数的取值范围为16已知关于x的方程在上有四个不同的实数解,则实数a的取值范围是_【解析】,方程两边同时除以得,令,当时,;当
9、时,则函数在上单调递增,在上单调递减,当时,由得出,则,设,当时,;当时,则函数在上单调递减,在上单调递增,当,则当,即时,对应方程有两个解,此时分别对应两个,故方程有四解,即四、解答题17已知函数.(1)当且时,求函数的单调区间;(2)若,关于的方程有三个不同的实根,求的取值范围.【解析】(1)函数的定义域是,.当时,在上恒成立,在上恒成立,的增区间为,的减区间为.当时,在和上恒成立,在上恒成立.时,的增区间为和,的减区间为.综上所述,当时的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为.(2)若,关于的方程有三个不同的实根,等价于的图象与直线有三个交点.,由解得或
10、,由,解得.在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又当趋近于时趋近于,当在定义域内趋近于0时,趋近于-,趋近于-,的图象与直线有三个交点时的取值范围是.18已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)函数,求的解的个数.【解析】(1)由,得,故,令,解得,令,解得,故函数在上单调递减,在上单调递增;(2)令,则,若,则,在上单调递减,而,故有1个零点,若,可得时,时,在上单调递增,在上单调递减,令,则,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,而,故时,有2个零点,当时,有1个零点,综上,时,有1个解,当时,有2个解.19已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数与图象在上有两个不同的交点
11、,求实数的取值范围.【解析】(1)当时,定义域为,且.令,即,解得;令,即,解得.因此,函数的增区间为,减区间;(2)由已知得:在有两个不相等的实数根.令,由得.当时,此时,函数为减函数;当时,此时,函数为增函数.所以,函数在处取得极小值,又,且,当时,直线与函数在区间上的图象有两个交点,因此,实数的取值范围是.20已知函数(1)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当时,若方程有两个不等实数根,求实数m的取值范围,并证明【解析】(1)由在上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,即求,求导,当时,所以在上单调递减,所以实数a的取值范围是,(2)当时,有两个不等实数根,有两个不等实
12、数根,令,则,令,得,当时,单调递增;当时,单调递减; 所以时,函数取得极小值,也即是最小值,所以实数m的取值范围是,易知,令,则,在上单调递增,故,即 ,21已知函数,其中(1)若,求函数的单调减区间;(2)设方程在上恰有个不等实根,求证:【解析】(1)因为,所以,由得,当时,所以和时,单调递减,当时,所以在上单调递减,当时,所以和时,单调递减,综上所述,当时,的减区间为和,当时,的减区间为,当时,的减区间为和,(2)由得,令(),则由题意得与直线恰有个交点,所以,令(),则易知单调递减,所以存在,使得,此时,所以当时,单调递增;当时,单调递减;所以,因为,时,故要使得与恰有个交点,则,又因为,所以成立22已知函数,(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的取值范围;(3)若关于的方程有两个不同的实数解,求的取值范围【解析】(1)当时,由,切点,所以切线方程,(2),令,则,若,则当时,为减函数,而,从而当时,即,若a1,则当时,为减函数,而,从而当时,即,综合得a的取值范围为,(3)令,由,得,则,令,则当时,为增函数,所以,即令,则,当时,单调递减;当时,单调递增所以,故当时,有2个解,即有2个零点,则的取值范围为