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1、2024-2025学年度高一第一学期期中考试数学试题（A）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 下列命题与“，”表述意义一致的是（ ）A. 有且只有一个实数，
2、使得成立B. 有些实数，使得成立C. 不存在实数，使得成立D. 有无数个实数，使得成立【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解.【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”.故选：C.2. 设函数，则下列说法不正确的是（ ）A. 的定义域为B. 的单调递增区间为C. 的最小值为0D. 的图象关于对称【答案】B【解析】【分析】利用解析式求得定义域判断A；求得单调区间判断B；求得最小值判断C；求得对称轴判断D.【详解】由，解得或，所以函数的定义域为，故A正确；因为，所以在上单调递减，在上单调递增，故B错误；因为，所以的最小值为0，故C正确；因为，所以的图象关于对称，故D
3、正确.故选：B.3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由根号内的整体为非负解不等式，再由分母不为零即可求得函数定义域.【详解】易知，解得，又因为，可得，因此函数的定义域为.故选：C4. 已知，是两个不相等的实数，满足，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】依题意可得，是方程的两个不相等实数根，利用根与系数关系计算可得结果.【详解】根据题意可知，满足方程，即可得，是方程的两个不相等的实数根，即，可得；由根与系数关系可知，因此可得；又，即可得，解得.故选：A5. 已知，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（ ）A. B. C.
4、 D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式求得，成立时的解集，结合条件可得，求解即可.【详解】解不等式，可得或，所以成立时，或，因为，由，可得，又是的必要不充分条件，所以，解得.故选：B.6. 设函数若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，分类求解可得，可得，再分类求解可得实数的取值范围.【详解】令，则，当时，可得，解得，又，所以，当时，可得，解得，所以，所以，当时，得，解得，满足，当时，得，所以，又，所以，所以实数的取值范围是或.故选：C.7. 已知符号函数，若，则关于的说法，正确的是（ ）A. 奇函数，在和单调递增B. 奇函数，在和单调递减C. 偶
5、函数，在单调递增，在单调递减D. 偶函数，在单调递减，在单调递增【答案】D【解析】【分析】先求得函数的解析式，可得单调性，利用函数的奇偶性的定义可判断奇偶性.【详解】因为，所以，所以可得在单调递减，在单调递增，当时，则有，当时，则有，当时，则有，综上所述：对恒成立，所以函数是偶函数.故选：D.8. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解.【详解】易知：函数（）为偶函数，图象关于轴对称，且函数在0,+上单调递增，在上单调递减.所以，所以或且，.即：.故选：B【点睛】关键点点睛：分析函数的定
6、义域，奇偶性，单调性，把不等式转化为代数不等式时，要注意函数定义域的限制.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质，计算可判断ABD，赋值法可判断C.【详解】因为，所以，所以，故A正确；因为，所以，又，所以，所以，故B错误；对于C，取，此时，所以，故C错误；因为，所以，又因为，所以，所以，又，所以，故D正确.故选：AD.10. 已知函数，记则下列关于函数的说法正确的是（ ）A. 当
7、时，B. 函数的最小值为，无最大值C. 函数在上单调递减D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】ABD【解析】【分析】由定义得出的解析式，画出对应函数图象，再由函数与方程的思想判断选项即可得结论.【详解】根据题意令可得或；由函数定义可知Fx=maxfxgx=3x,x3x+2,3x03x,01；对于A，当x0,1时，可得A正确；对于B，由函数图象可知函数Fx的最小值为，无最大值，可得B正确；对于C，易知函数Fx在上单调递增，可得C错误；对于D，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，可得函数与Fx图象有两个交点，可得或，即D正确.故选：ABD11. 对于任意实数，函数满足：当时，则（
8、）A. B. 的值域为C. 在区间上单调递增D. 的图象关于点对称【答案】BC【解析】【分析】求得判断A；求得值域判断B；确定函数的单调性判断C；求得可判断D.【详解】由时，由题意可得时，故A错误；当，由，可得，当，则，所以，故B正确；当，为增函数，故C正确；当时，所以，所以的图象关于点对称，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据命题的否定及不等式恒成立问题即可求解.【详解】命题：“，”为假命题，则“，”为真命题，当时，不成立，当时，在上单调递增，则当，解得（舍去），当时，在上单
9、调递减，则当，解得，综上：实数的取值范围为.故答案为：.13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是_.【答案】【解析】【分析】令，利用判别式法可得的取值范围，即可得的值域，结合所给定义即可得的值域.详解】令，由，则有，当时，有；当时，则有，解得，又，即或；综上可得，则，故的值域是.故答案为：.14. 若不等式对一切实数均成立，则实数取值范围为_.若存在实数，使得关于的方程在上述范围有两个不相等的实数解，则实数的取值范围为_.【答案】 . . 【解析】【分析】依题意可得不等式对一切实
10、数均成立，分、两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；依题意关于的方程在有两个不相等的实数解，令，则，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，又不等式对一切实数均成立，所以不等式对一切实数均成立，当，即时，不等式即，解得，显然不恒成立；当，则，解得，即实数的取值范围为；因为关于的方程在有两个不相等的实数解，令，则，解得或，即实数的取值范围为.故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合，.（1）若，求；（2）若是的充分条件，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，可求；（2）由已知可得，可得，求解即可.
11、【小问1详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，当时，所以；【小问2详解】因为是的充分条件，所以，所以，即，所以的取值范围为.16 已知函数.（1）解关于的不等式；（2），都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）结合一元二次不等式解集的形式，分情况讨论一元二次不等式的解集.（2）问题可转化为含参数的二次函数在给定区间上的值域问题求解.【小问1详解】，即，即，所以当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【小问2详解】因为对，都有恒成立，所以，当时，即时，由，即，故；当时，即时，由，故，当时，即时，由，故，当时，即时，由，故.综上可知：.所以的
12、取值范围为.17. 已知函数对于任意实数，都有，且.（1）求，f1的值；（2）证明：点是曲线的一个对称中心；（3）求的值.【答案】（1）2； （2）证明见解析 （3）8098【解析】【分析】（1）令、即可求解；（2）令，即可求解；（3）由（2）知，即可求解.【小问1详解】令，有，得；令有，又，所以；【小问2详解】令，则有即，所以曲线y=fx是中心对称图形，对称中心为；【小问3详解】由（2）知，所以.18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕
13、购买数量为b个，花费记为;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为（其中）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）【答案】（1）采用方案二；理由见解析 （2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为（元）；方案二的总费用为（元），由，因为，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知，令，则，所
14、以，当时，即时，等号成立，又因为，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，所以两种方案花费的差值最小为24元.19. 已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数.（1）求证：是的生成函数；（2）若是的生成函数，判断并证明的单调性；（3）若是的生成函数，实数，求的一个生成函数.【答案】（1）证明见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）整理可得，根据可证得结论；（2）根据生成函数定义可得，由此可得函数单调性；（3）由，分别讨论和的情况，由生成函数定义可得结果.【小问1详解】，且，使得，满足，是的生成函数.【小问2详解】是生成函数，对任意区间，存在且，即，又，即，在上单调递增.
