专题突破练(分值:82分)学生用书P151一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·广东韶关模拟)已知sin α=-35,且π<α<3π2,则tan α=( )A.-45 B.-34 C.34 D.45答案C解析由sin α=-35,π<α<3π2,得cos α=-1-sin2α=-45,所以tan α=sinαcosα=34.故选C.2.(2024·浙江杭州期中)已知角α的终边经过点P(-1,3),则cos(π+α)cosπ2+α-cosα=( )A.12 B.-12 C.14 D.-14答案B解析由题可得,cos(π+α)cosπ2+α-cosα=-cosα-sinα-cosα=cosαsinα+cosα.已知角α的终边经过点(-1,3),可得cos α≠0,且tan α=-3,则cosαsinα+cosα=1tanα+1=-12.故选B.3.(2024·安徽黄山一模)已知sin αsin β=15,cos(α-β)=35,则cos(α+β)=( )A.-15 B.15 C.1825 D.-2325答案B解析因为sin αsin β=15,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β+15=35,解得cos αcos β=25,故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=25-15=15.故选B.4.(2024·福建漳州一模)在平面直角坐标系Oxy中,A(-1,2),B(2,2),射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,则tan θ=( )A.3 B.2 C.4 D.5答案A解析如图,设角α,β终边上的点分别为A,B,A(-1,2),B(2,2),则tan α=2-1=-2,tan β=22=1.因为射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,所以α=β+θ,所以tan θ=tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=-2-11+(-2)×1=3.故选A.5.(2024·河北沧州二模)化简cos20°-sin30°cos40°sin40°cos60°=( )A.1 B.3 C.2 D.233答案B解析由题得cos20°-sin30°cos40°sin40°cos60°=cos(60°-40°)-sin30°cos40°sin40°cos60°=sin60°sin40°sin40°cos60°=tan 60°=3.故选B.6.(2024·江西鹰潭一模)已知θ∈0,π2,tanθ+π4=-23tan θ,cosθ+π2cos2θ2sinθ+π4=( )A.-12 B.-35 C.3 D.35答案D解析因为tanθ+π4=-23tan θ,所以tanθ+11-tanθ=-23tan θ,整理可得2tan2θ-5tan θ-3=0.又θ∈0,π2,即tan θ>0,解得tan θ=3,所以cosθ+π2cos2θ2sinθ+π4=-sinθ(cos2θ-sin2θ)sinθ+cosθ=-sin θ(cos θ-sin θ)=-sinθcosθ+sin2θsin2θ+cos2θ=-tanθ+tan2θtan2θ+1=-3+3232+1=35.故选D.7.(2024·江苏南通二模)若cos α,cosα-π6,cosα+π3成等比数列,则sin 2α=( )A.34 B.-36 C.13 D.-14答案B解析由cos α,cosα-π6,cosα+π3成等比数列,得cos2α-π6=cos αcosα+π3,即12[1+cos2α-π3]=cos α(12cos α-32sin α),则12+14cos 2α+34sin 2α=14+14cos 2α-34sin 2α,所以sin 2α=-36.故选B.8.(2024·河南新乡二模)已知sin(130°+α)=2cos 20°cos α,则tan(α+45°)=( )A.-2+3 B.2-3C.2+3 D.-2-3答案A解析由题得,sin(130°+α)=sin[150°+(α-20°)]=12cos(α-20°)-32sin(α-20°),2cos 20°cos α=cos(α+20°)+cos(α-20°).因为sin(130°+α)=2cos 20°cos α,所以12cos(α-20°)-32sin(α-20°)=cos(α+20°)+cos(α-20°),所以-12cos(α-20°)-32sin(α-20°)=cos(α+20°),即cos[120°+(α-20°)]=cos(α+20°),即cos(100°+α)=cos(α+20°),所以100°+α=α+20°+k·360°或100°+α+α+20°=k·360°,k∈Z,所以α=-60°+k·180°,k∈Z,故tan α=tan(-60°+k·180°)=-3,k∈Z,所以tan(α+45°)=-3+11+3=3-2.故选A.二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3,4),则( )A.cos 2θ=-725 B.tan 2θ=-247C.cosθ2=255 D.tanθ2=12答案ABD解析因为角θ的终边过点P(3,4),所以cos θ=332+42=35,sin θ=432+42=45,tan θ=43,所以cos 2θ=2cos2θ-1=2×925-1=-725,tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=2×431-169=-247,故A,B正确;因为2kπ<θ<2kπ+π2(k∈Z),所以kπ<θ20,但cosθ2>0或cosθ2<0均满足题意,故C错误;由tan θ=2tanθ21-tan2θ2=43,得2tan2θ2+3tanθ2-2=0,解得tanθ2=-2(舍去)或tanθ2=12,故D正确.故选ABD.10.(2024·河北保定二模)一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的,所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义:①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α;②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α;③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割,记作csc α,即1y=csc α;④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割,记作sec α,即1x=sec α.下列结论正确的有( )A.csc 5π4=-2B.cos α·sec α=1C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5答案ABD解析由题得,csc5π4=1sin5π4=-2,故A正确;cos α·sec α=cos α·1cosα=1,故B正确;函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z},故C错误;sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1+1cos2α+1sin2α=1+1sin2αcos2α=1+4sin22α≥5,当sin 2α=±1时,等号成立,故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.11.(2024·上海奉贤二模)已知α∈[0,π],且2cos 2α-3cos α=5,则α= . 答案π解析已知2cos 2α-3cos α=5,由倍角公式得4cos2α-3cos α-7=(4cos α-7)(cos α+1)=0.由α∈[0,π],cos α∈[-1,1],解得cos α=-1,则α=π.12.已知α,β∈0,π2,且sin α-sin β=-12,cos α-cos β=12,则tan α+tan β= . 答案83解析由题可知sin α-sin β=-cos α+cos β,所以sin α+cos α=sin β+cos β,所以2sinα+π4=2sinβ+π4.因为α,β∈0,π2,所以α+π4∈π4,3π4,β+π4∈π4,3π4.又α≠β,所以α+π4+β+π4=π,故α+β=π2,所以sin α-sin β=sin α-cos α=-12,两边平方后得sin2α-2sin αcos α+cos2α=14,故sin αcos α=38,则tan α+tan β=tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=83.13.(2024·河北邯郸二模)正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,设∠CAD=α,则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α= ,cos αcos 2αcos 3α·cos 4α= . 答案0 116解析由题可得,正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形,五个三角形各自的内角之和为180°,则正五边形的内角和180°×(5-2)=180°×3=540°,每个角为540°5=108°.因为三角形是等腰三角形,底角是五边形的外角,即底角为180°-108°=72°.又三角形内角和为180°,那么三角形顶角,即五角星尖角为180°-72°×2=36°,即∠CAD=α=36°.则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α=cos 36°+cos 72°+cos 108°+cos 144°=cos 36°+cos 72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)=cos 36°+cos 72°-cos 72°-cos 36°=0,cos αcos 2αcos 3αcos 4α=cos 36°cos 72°cos 108°cos 144°=(cos 36°cos 72°)2.因为cos 36°cos 72°=2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°=sin72°·cos72°2sin36°=sin144°4sin36°=14,所以cos αcos 2αcos 3αcos 4α=116.四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.(15分)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sin β,求tan β的最大值.解因为α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sin β,所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],即3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α,所以tan(α+β)=3tan α.因为tan α>0,tan β>0,所以tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα,所以tan β=2tanα1+3tan2α=21tanα+3tanα≤221tanα·3tanα=33,当且仅当1tanα=3tan α,即tan α=33时,等号成立,所以tan β的最大值为33.。