球坐标系下三角函数公式

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1、 球坐标系下三角函数公式球坐标系下A点坐标为（r1，1，1），B点坐标为（r2，2，2）, A到坐标系原点o（0，0，0）连线与B到坐标系原点o连线夹角为，则cos=cos1cos2+sin1sin2cos(1-2)证明：A（r1，1，1）在XOY平面的投影为C，B（r2，2，2）在XOY平面的投影为D，连接CD，在三角形OCD中CD2= r12sin21+ r22sin22+2 r1 r2sin1sin2cos(1-2)作B点到AC的垂线，垂足为E，BCDE为长方形，BE=CD，BD=EC AE=AC-EC=AC-BD= r1cos1+ r2cos2在三角形OAB中AB2= r12+ r22

2、+2 r1 r2cos在三角形AEB中AB2=AE2+BE2=AE2+CD2也就是r12+r22+2r1r2cos(r1cos1+r2cos2)2+r12sin1+r2sin22+2r1r2sin1sin2 cos(1-2)化简得cos= cos1 cos2+ sin1 sin2 cos(1-2)证毕推广到一般坐标形式，设C点坐标为（r3,3, 3）, 则三棱锥OABC中，|AB|2= r12+ r22+2 r1 r2cos12|AC|2= r12+ r32+2 r1 r3cos13|BC|2= r22+ r32+2 r2 r3cos23|AC|2+|BC|2+2|AC|BC|cos=|AB|2其中是AC与BC夹角，12是OA与OB夹角，13是OA与OC夹角，23是OB与OC的夹角。利用上面球坐标系公式cos12=cos1cos2+ sin1sin2cos（1-2）cos13=cos1cos3+ sin1sin3cos（1-3）cos23=cos2cos3+ sin2sin3cos（2-3）于是cos( r1 r2cos12-r1r3cos13-r2r3cos23)/|AC|BC|这是一般情况下，AC与BC夹角的余弦公式。当C点与原点重合时，cos= cos1 cos2+ sin1 sin2 cos(1-2)