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1、第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质例1比较和的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.解：因为.所以.例2已知，求证分析：要证明，因为.所以可以先证明.利用已知和性质3，即可证明.证明：因为.所以，.于是，即由，得.练习1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.【答案】(1);(2);(3)【解析】【分
2、析】由题意转化为不等关系即可【详解】（1）；（2）；（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题2. 比较和的大小.【答案】.【解析】【分析】将两式作差即可比较大小.【详解】解： -=-3”或“ . . . ；(2)；(3)；(4)【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键习题2.1复习巩固6. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子【答案】见解析【解析】【分析】举生活中的儿童乘车票价和桥洞通道限高，答案不唯一.【详解】解：（1）身高的儿童随同成年人乘坐火车，享受半价优惠，则享受半价优惠儿童的身高的范围.（2）限高5m的桥
3、洞通道.【点睛】本题主要考查了生活中的不等关系，属于基础题.7. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.【答案】【解析】【分析】根据题意得出经过年之后，方案的总投入的表达式，解不等式，即可得出结论.【详解】方案A：一次性投资500万元；方案B：第一年投资100万元两年后总投资为万元三年后总投资为万元n年后总投资为万元由于n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，所以，即.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系，属于基础题.8. 比较
4、下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）与；（3）当时，与；（4）与.【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.【解析】【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】解：（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以当时，.（4）因为，所以.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.9. 一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.【答案】57【解析】【分析】根据不等关系得出不等式组，求解即可得出结论.【详解】解：由题意知，解得.又，所求的两位数为57.【点睛】本题主要考查了利
5、用不等式表示不等关系，属于基础题.10. 已知，求的范围.【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质可得出答案.【详解】解：，又，.11. 证明：，.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.【详解】证明：.故得证.综合运用12. 已知，求证：【答案】【解析】【分析】通过可知，从而，求倒数可知，两边同时乘以负数即得结论【详解】，又，又，【点睛】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题13. 下列不等式中成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】A，如时，所以该选项错误；BCD，利用
6、作差法比较大小分析得解.【详解】A. 若，则错误，如时，所以该选项错误； B. 若，则，所以该选项正确；C. 若，则，所以该选项错误；D. 若，则，所以该选项错误.故选：B14. 证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.【答案】见解析【解析】【分析】设圆的周长与正方形的周长均为x，由圆的面积以及正方形的面积公式求出圆和正方形的面积，利用作差法证明圆的面积大于正方形的面积，即可得出相同周长的圆和正方形的截面，圆的截面面积大.【详解】证明，设圆的周长与正方形的周长均为x，则圆的面积，正方形的面积，.相同材料制成的自来水管
7、，截面为圆的截面面积大，因而出水快.【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于中档题.15. 已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.【答案】，证明见解析【解析】【分析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可.【详解】解：时，.证明如下：，.【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题.拓广探索16. 已知，求证.【答案】见解析【解析】【分析】利用作差法证明不等式即可.【详解】证明：，.【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式，属于基础题.17. 火
8、车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？【答案】见解析【解析】【分析】根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案，根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.【详解】解：设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z所以，所以又因为，所以或或.所以共有三种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节.当时，总运费（万元）此时运费较少.【点睛】本题主要考查了线性规划的实际应用，属于中档题.
