合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）命题学校：合肥九中 命题教师：冯文华 审题教师：王伟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ）A. 不存在 B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ）A 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ）A. 0或-10 B. 0或-20 C. 15或-25 D. 04. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，25. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ）A. 不确定 B. 2 C. D. 46. 在平行六面体中，为与交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 7. 台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时8. 已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ）A. B. C. 2 D. 1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ）A. B. C. 0 D. 110. 已知直线：，则（ ）A. 直线的一个方向向量为B. 直线过定点C. 若直线不经过第二象限，则D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ）A. 的最小值为B 直线必过定点C. 满足点有两个D. 过点作圆的切线，切线方程为或第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________．13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知直线：与直线：的交点为.（1）求点关于直线的对称点；（2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程.16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.18. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q段上． （1）证明：平面；（2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求动点Q到线段的距离的取值范围．19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.（1）证明：向量是平面的法向量；（2）若平面，平面，直线l为平面和平面交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）命题学校：合肥九中 命题教师：冯文华 审题教师：王伟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ）A. 不存在 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两点,求出的直线方程,进而可求倾斜角大小.【详解】解:由题知直线l过、两点,所以直线的方程为,故倾斜角为.故选:C2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，由，可得，所以A不正确，C正确；对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；故选：C.3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ）A. 0或-10 B. 0或-20 C. 15或-25 D. 0【答案】B【解析】【分析】化简直线方程得：，利用两条平行线间的距离公式计算可得.【详解】化简得：，两平行直线，的距离为： ，，或，故选：B.【点睛】此题考两条平行线间的距离公式，关键是化简直线方程，使两个直线方程x，y的对应系数相同，属于简单题.4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2【答案】D【解析】【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D5. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ）A. 不确定 B. 2 C. D. 4【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则,0,，,2,，，,1,，．故选：D．6. 在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出图象，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式.【详解】如下图所示：由题意可知，，所以，故选：A.7. 台风中心从地以每小时速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）A. 1小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.【详解】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为，当台风进入圆内，则城市处于危险区，又台风的运动轨迹为，设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离，则，所以时间，故选：B.8. 已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ）A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解.【详解】设弦的中点为，由题可知圆的半径为，因为，，所以，所以，，可得，解得.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ）A. B. C. 0 D. 1【答案】AC【解析】【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可.【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况，则，解得，当，共线时，解得，故且，对照选项知AC正确，BD错误.故选：AC.10. 已知直线：，则（ ）A. 直线的一个方向向量为B. 直线过定点C. 若直线不经过第二象限，则D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于【答案】BD【解析】【分析】根据直线方向向量、直线过定点、直线截距、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论.【详解】对于A：由方程可得可得一个方向向量：，可判断A错误；对于B：，所以，则直线过定点，故B正确；对于C，若，则直线，此时直线不过第二象限，又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得，所以若直线不经过第二象限，则，故C错误.对于D：当时，直线方程为：，圆心到直线的距离为：，而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，正确；故选：BD11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ）A. 的最小值为B. 直线必过定点C. 满足的点有两个D. 过点作圆的切线，切线方程为或【答案】BCD【解析】【分析】A：将问题转化为求PQ的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果.【详解】A：因为，当PQ最小时，取最小值，PQ取最小值时即为到直线的距离，所以PQ最小值为，所以的最小值为，故A错误；B：设，，所以中点坐标为，，以为直径的圆的方程为，又圆，两圆方程相减可得，即为令，解得，所以公共弦所在直线过定点，故B正确； 对于C：对于，令，则，所以，令，则，所以，所以中点的坐标为，，故以为直径的圆的方程为，又因为，且，所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即，因为与圆相切，所以，所以，解得，所以切线方程为或，故D正确；故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________．【答案】##0.25【解析】【分析】根据向量的运算法则得到，根据共面得到，得到答案.【详解】由，得，即．因为点在平面内，所以，得．故答案为：.13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，此时，；当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界。
