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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人教,A,版,2019,高二数学（选,修一,）第一章 空间向量与立体几何,1.1.1,空间向量及其线性运算,目录/CONTENTS,新知探究,情景导入,学习目标,课堂小结,分层练习,错因分析,学习目标,1.,理解空间向量的概念,(,难点,),2.,掌握空间向量的加法、减法、数乘等线性运算,(,重点,),3.,掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用,(,重点、难点,),情景导入,这是一个做滑翔伞运动的场景,.,可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力,.,显然这些力不在同一个平面内,.,
2、这就是我们今天要学习的空间向量,.,1,、,定义,：,平面内既有大小又有方向的量。,几何表示法,:,用有向线段表示,字母表示法,：,用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。,相等向量,：长度相等且方向相同的向量,A,B,C,D,2,、,表示法,：,复习回顾,向量加法的三角形法则,a,b,向量加法的平行四边形法则,b,a,向量减法的三角形法则,a,b,a,b,a,b,a (k0),k,a (k0,时，,a,与向量,a,方向相同；当,0,时，,a,与向量,a,方向,；当,0,时，,a,0,.,(2),空间向量数乘运算满足以下运算律,(,a,),_,；,(,a,b,),_,；,
3、(,1,2,),a,_,(,拓展,).,相反,|,|,a,|,(,),a,a,b,1,a,2,a,空间向量的数乘运算,概念归纳,平面向量,运,算,律,空间向量,交换律,：,结合律,分配律,由于任意两个空间向量都可以通过,平移,转化为同一平面内的向量，,任意两个,空间向量,的运算就可以,转化为,平面向量,的运算,.,概念归纳,O,A,B,C,推广：,O,A,B,C,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,G,M,探究：已知平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量,.(,如图,),探究：已知平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,
4、D,1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量,.(,如图,),始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量,为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,如图，已知长方体,ABCD-A,B,C,D,，化简下列向量表达式，,并在图中标出化简结果的向量,.,练一练,问,题,1,平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？,提示,对任意两个平面向量,a,，,b,(,b,0,),，,a,b,的充要条件是存在,实数,，使,a,b,，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因,此也适用于空间向量,.,3.,共线,向量,新知探究,1.,对任意两
5、个空间向量,a,，,b,(,b,0,),，,a,b,的充要条件是存在实数,，使,.,2.,如图，,O,是直线,l,上一点,，,在直线,l,上取非零向量,a,，,则对于,直线,l,上任意一点,P,，可知,a,，把与向量,a,平行的非零,向量称为直线,l,的,，直线,l,上任意一点都可以由直线,l,上的一点和它的方向向量表示,.,a,b,方向向量,归纳总结,平行,(,共线,),向量,平行或重合,a,b,方向向量,归纳总结,注意点：,(1),直线可以由其上一点和它的方向向量确定,.,(2),向量,a,，,b,共线时，表示向量,a,，,b,的两条有向线段不一定在同,一条直线上,.,典例剖析,解,方法一
6、,M,，,N,分别是,AC,，,BF,的中点，且四边形,ABCD,和,ABEF,都是平行四边形，,典例剖析,方法二,M,，,N,分别是,AC,，,BF,的中点，且四边形,ABCD,和,ABEF,都是平行四边形，,典例剖析,1.,满足下列条件,能说明空间不重合的,A,B,C,三点共线的是,(,),答案,C,C,练一练,2.,对于空间的任意三个向量,a,b,2,a-b,它们一定是,(,),A.,共面向量,B.,共线向量,C.,不共面向量,D.,既不共线也不共面的向量,解析,因为,2,a-b=,2,a+,(,-,1),b,所以,2,a-b,与,a,b,共面,.,3.,判断,(1),若,a,与,b,共
7、线,b,与,c,共线,则,a,与,c,共线,.,(,),(2),若向量,a,b,c,共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面,.,(,),(3),若,a,b,则存在唯一的实数,使,a,=,b,.,(,),A,练一练,向量共线的判定及应用,(1),判断或证明两向量,a,，,b,(,b,0,),共线，就是寻找实数,，使,a,b,成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达,.,(2),判断或证明空间中的三点,(,如,P,，,A,，,B,),共线的方法：是否存在实数,，,归纳总结,问题,2,空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？,不一定
8、，如图所示，空间中的三个向量不共面,.,4.,共面,向量,新知探究,1.,向量与平面平行：如果表示向量,a,的有向线段,所在的直线,OA,_,或,，那么称向量,a,平行于平面,.,2.,共面向量,平行于,平面,定义,平行于同一个,的向量,三个向量共面的充要条件,向量,p,与不共线向量,a,，,b,共面的充要条件是存在,_,的有序实数对,(,x,，,y,),使,_,在平面,内,平面,唯一,p,x,a,y,b,归纳总结,问题,3,对两个不共线的空间向量,a,，,b,，如果,p,x,a,y,b,，那么,向量,p,与向量,a,，,b,有什么位置关系？反过来，向量,p,与向量,a,，,b,有什么位置关系
9、时，,p,x,a,y,b,?,提示,向量,p,与不共线向量,a,，,b,共面的充要条件是存在唯一的,有序实数对,(,x,，,y,),，使,p,x,a,y,b,.,唯一,p,x,a,y,b,归纳总结,O,A,B,C,D,E,F,G,H,思路探究：,欲证 四点共面,，,只需证明,共面,.,而由已知,共面,，,可以利用向量运算由,共面的表达式推得,共面的表达式,.,例,：如图，已知平行四边形,，,过平面 外一点,，,作射线,，在四条射线上分别取点,使,.,求证：四点共面,.,考点：,空间中四点共面的判定,.,课本例题,O,A,B,C,D,E,F,G,H,是平行四边形,由向量共面的充要条件可知，共面,
10、又 过同一,点,从而 四点共面,.,证明：,.,例,2.(,多选,),对空间任一点,O,和不共线的三点,A,，,B,，,C,，能得到,P,，,A,，,B,，,C,四点共面的是,（）,BC,典例剖析,解决向量共面的策略,归纳总结,选择恰当的向量表示问题中的几何,元,素,，,通过向量运算得出几何元素的关系,是用向量解决立体几何问题的常用方法,.,若向量,a,与,b,不共线，且,m,a,b,，,n,a,b,，,p,a,，则,(,),A,m,，,n,，,p,共线,B,m,与,p,共线,C,n,与,p,共线,D,m,，,n,，,p,共面,【答案】,D,练一练,1,.,“,两个非零空间向量的模相等,”,是
11、,“,两个空间向量相等,”,的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此,“,两个非零向量的模相等,”,是,“,两个向量相等,”,的必要不充分条件,.,答案,B,随堂练,2,.,在平行六面体,ABCD-ABCD,中,与向量,相等的向量共有,(,),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,答案,C,随堂练,答案,B,随堂练,4,.,如图所示,已知矩形,ABCD,P,为平面,ABCD,外一点,且,PA,平面,ABCD,M,N,分别为,PC,PD,上的点,且,PM,MC=,2,1,
12、N,为,PD,中点,求满足,随堂练,随堂练,1.,举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例,.,解：答案不唯一,.,例如三棱锥,V-ABC,中，向量,VA,、向量,VB,、向量,VC,表示三个不同在一个平面内的向量,.,2.,如图，,E,，,F,分别是长方体,ABCD-ABCD,的棱,AB,，,CD,的中点,.,化简下列表达式，并在图中标出化简结果：,课本练习,课本练习,课本练习,3.,在图,1.1-6,中，用,，,，,表示,，,及,.,4,，如图，已知四面体,ABCD,，,E,，,F,分别是,BC,，,CD,的中点,.,化简下列表达式，并在图中标出化简结果：,(1),+,+,;,课本练习
13、,5,，如图，已知正方体,ABCD-ABCD,，,E,，,F,分别是上底面,AC,和侧面,CD,的中心,.,求下列各式中,x,，,y,的值：,课本练习,课本练习,错因分析,错因分析,错因分析,易错警示空间向量数乘运算,错因分析,错因分析,错因分析,错因分析,分层练习,-,基础,分层练习,-,基础,分层练习,-,基础,分层练习,-,基础,分层练习,-,基础,分层练习,-,基础,分层练习,-,巩固,9,如图，已知平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,，,M,为,A,1,C,1,与,B,1,D,1,的交点，化简下列向量表达式,分层练习,-,巩固,分层练习,-,巩固,分层练习,-,巩固,分层练习,-,巩固,分层练习,-,巩固,分层练习,-,巩固,分层练习,-,巩固,分析：,分层练习,-,巩固,分层练习,-,巩固,分层练习,-,拓展,分层练习,-,拓展,课堂小结,1,.,空间向量的概念,.,2,.,空间向量的,加法、减法、数乘,运,算,.,3,.,共线向量（平行向量）的概念及空间向量,共线的充要条件,及其应用,.,4,.,共面向量的概念及,空间,向量共面的充要条,件,及其应用,.,平面向量,空间向量,类比,
