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1、辽宁省沈阳市东北育学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1下列可使，构成空间的一个基底的条件是（）AB，两两垂直CD2已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知双曲线的离心率为，则的值为（）A18BC27D4若方程表示圆，则m的取值范围是（）ABCD5已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（）ABCD26在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（）A是一条垂直于轴的直线B是两条平行直线C是一个半径为1的圆D是椭圆7“十字贯穿体”是学习素描时
2、常用的几何体实物模型，图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图所示的空间直角坐标系，则（）AB点的坐标为C，四点共面D直线与直线所成角的余弦值为8已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（）ABCD二、多选题9关于空间向量，以下说法正确的是（）A若空间向量，则
3、在上的投影向量为B若空间向量，满足，则与夹角为锐角C若对空间中任意一点，有，则，四点共面D若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则10已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（）A若，则的面积为B使为直角三角形的点有6个C的最大值为D若，则的最大、最小值分别为和11四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望第二片叶子表示信心第三片叶子表示爱情第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为，则下列关于曲线的描述正确的有（）A其图象是中心对称图形B其图象只有2条对称轴C其图象绕坐标原点旋转可以重合D其图象上任意两点的距离的最大值为三、填空题12已知，点，若平面AB
4、C，则点P的坐标为 13已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 .14已知椭圆，过椭圆右焦点F作互相垂直的两条弦，则的最小值为 四、解答题15已知的三个顶点分别是，.(1)求边上的高所在的直线方程；(2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程；(3)求边上的中线所在的直线方程.16已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆的方程;(2)过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程；(3)已知实数满足圆的方程，求的最小值.17如图，在三棱柱中，点是的中点，平面.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.18设常数且，椭圆：，点是上的动点(1)若点的坐标为，求的焦点坐标
5、；(2)设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值；(3)设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值19已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，(1)当时，求证：；求平面和平面所成角的余弦值；(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由参考答案：题号12345678910答案BCABACCAACDBCD题号11 答案AC 1B【分析】判断三个向量是否共面即可得【详解】选项AD中，三个向量
6、一定共面，选项C中，可能共面，只有选项B中，一定不共面，故选：B2C【分析】根据两直线平行的充要条件求解.【详解】由可得：，解得：或，当时，两直线重合，不合题意，当时，两直线平行.故选：C.3A【分析】借助双曲线离心率定义计算即可得.【详解】由题可得实半轴长，所以半焦距，所以故选：A4B【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可.【详解】因为表示圆，所以,解得或.故选：B.5A【分析】根据椭圆的定义结合条件即得.【详解】椭圆，设，则，即故选：A6C【分析】由题意设，结合条件等式即可列式化简，从而判断求解即可.【详解】不妨设点的坐标为，由可得，即.故选：C.7C【分析】根据给定的空间直
7、角坐标系，求出相关点的坐标，再结合空间向量的坐标运算逐项计算判断即得.【详解】依题意，正方形的对角线，则，对于A，A错误；对于B，由，得，B错误；对于C，于是，又为三个向量的公共起点，因此四点共面，C正确；对于D，直线与直线所成角的余弦值为，D错误.故选：C8A【分析】作，结合条件可得，结合椭圆定义求出，在，中，分别由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案.【详解】如图，垂足为，因为，所以，为的中点，整理得，所以，即，在中，在中，化简整理得，解得或，又，.故选：A.9ACD【分析】对A，根据投影向量的定义列式运算得解；对B，当，同向共线时也成立可判断；对C，由空间向量共面的推论判断；对D，由可判
8、断.【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确；对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误；对于C，在中，故四点共面，故C正确；对于D，由，即，故，故D正确.故选：ACD.10BCD【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD.【详解】A选项：由椭圆方程，所以，所以，所以的面积为，故A错误；B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，设椭圆的上下顶点分别为，则,同理，知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；C选项：由于，所以当最小即时，取得最大值，故C正确；D选
9、项：因为，又，则的最大、最小值分别为和，当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD11AC【分析】根据曲线的方程，结合点关于原点、的对称点，及旋转后的点的坐标逐一分析即可判断，曲线上任意两点的距离的最大值即为曲线的外接圆的直径，结合基本不等式可得，即曲线在圆的内部，即可判断.【详解】在方程中，以替换，以替换，方程不变，所以其图象是中心对称图形，故正确；在方程中，以替换，以替换，方程不变，所以其图象关于直线对称，同理，以替换，以替换，方程不变，所以其图象关于直线对称，所以其图象有4条对称轴，故错误；在方程中，以替换，以替换，方程不变，设为曲线上任意一点，则点绕坐标原点旋转得到的点为
10、或，将点或的坐标代入曲线的方程，方程不变，所以图象绕坐标原点旋转可以重合，故正确；曲线上任意两点的距离的最大值即为曲线的外接圆的直径，所以曲线在圆的内部，所以曲线上任意两点的距离的最大值小于，故错误.故选：.12【分析】由题意得，根据空间向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题可得，平面ABC，.故答案为：.13/【分析】设圆的半径为且，根据三角形的面积公式，得到时，的最大值为，结合圆的性质和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.【详解】由，可化为，则圆心，设圆的半径为且，则，当时，的最大值为，不妨取直线的方程为，因为，所以点到直线的距离为，所以，解得，又由，可得，解得.故答案为：.14/
11、【分析】考虑直线的斜率是否存在情况，存在时设，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求得弦长的表达式，进而推出，从而将化为，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由椭圆可知右焦点 ，当直线 的斜率不存在时，方程为，则 ，此时 ， ；当直线的斜率存在时，设 ，则 ，又设点 联立方程组 ，消去y并化简得 ，因为过椭圆右焦点F，则必有 ， ， ， ，由题意知，直线的斜率为 ，同理可得 ，所以 所以 ，当且仅当时取得等号，故综合以上，的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系的应用，考查了最值问题的求解，综合性强，计算量大，解答时要能熟练应用联立方程利用根与系数的关系，求解弦长问
12、题，解答的关键是根据弦长的表达式特征求得，继而利用基本不等式“1”的巧用求解最值.15(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）设出直线的方程，利用待定系数法求出直线方程.（3）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.【详解】（1）直线的斜率，则边上的高所在的直线斜率为3，所以边上的高所在的直线方程为，即.（2）依题意，设直线的方程为，而直线过点，则，解得，所以直线的方程为.（3）依题意，边的中点，因此边上的中线所在直线的斜率，所以边上的中线所在直线的方程为，即.16(1)(2)x=0或
13、(3)【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解；（2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论；（3）求得圆心到的距离的最小值可得结论.【详解】（1）（1）由题意知点到直线的距离为圆的半径，由点到直线的距离公式可得,所以圆的方程为.（2）因为直线与圆相交与两点，且，所以可得圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得，解得，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或.（3）表示点到的距离的平方，又圆心到到的距离为，所以点到的距离的最小值为，所以的最小值为.17(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，设，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出的方向向量与平面的法向量，再由向量夹角公式即可求解.【详解】（1）连接，设，连接，由三棱柱的性质可知，侧面为平行四边形，为的中点，又为中点，在中，又平面，平面，平面.（2）由题意可知，两两垂直，故以，所在直线为轴、轴、轴建
