《山东省烟台市2025届高三上学期期中学业水平诊断数学试题 含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省烟台市2025届高三上学期期中学业水平诊断数学试题 含解析（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20242025学年度第一学期期中学业水平诊断高三数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】由可得，所以，所以，或，所以.故选：B.2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”
2、是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题.【详解】当时，；反之，当时，.则“”是“”的充要条件.故选：C.3. 已知，则向量在上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求出的值，然后投影向量的计算公式为，再计算向量在上的投影向量.【详解】，可得.展开得到.，则；，则.将和代入中，得到，移项可得，解得.根据投影向量公式，得到.故选：B4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用抽象函数
3、求定义域的相关概念，即可求解.【详解】由x2，得，且，所以，因此，故函数的定义域为.故选：D.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据两角差的正切公式可求出，利用齐次式即可得到结果.【详解】由得，.故选：A.6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，求导，得到函数单调性，结合函数为奇函数且，得到在区间上上单调递减，从而得到，求出答案.【详解】时，显然，令得，当得，故在上单调递减，在上单调递增，又是定义在R上的奇函数，故在上单调递减，在上单调递增，又，故
4、在R上为连续函数，故在区间上单调递减，又在区间上单调递减，所以，解得.故选：C7. 已知定义在R上的函数满足，当时，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知关于对称，且在上单调递减，在1,+上单调递增，根据的对称性和单调性解不等式即可得出答案.【详解】因为定义在R上的函数满足，所以关于对称，当时，所以fx0，解得.并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先
5、求出的值，再将这个值作为自变量代入函数求出的值.【详解】对于，因为，所以，根据对数运算法则.因为，所以.根据对数运算法则.故答案为：.13. 已知平行四边形ABCD中，P是BC边上的动点，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】以B为坐标原点，BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，利用向量数量积坐标运算转化为函数，再求函数的值域解即可.【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，则，因为点P在边AB上，所以设点P的坐标为， 则当时，即的取值范围为，故答案为：14. 函数，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为_；若当时，对，则a的取值范围为_.【答案】 .
6、 1（答案不唯一） . 【解析】【分析】利用偶函数的定义可写出的值，由题意得，结合函数单调性求最值及绝对值不等式即可求解.【详解】若时，为偶函数，则，即，所以或0，对，所以，因为时，在上单调递增，所以，所以，又， 当时，在上单调递增，所以，即，解得，当时，在上单调递减，所以，所以，解得，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，无解，所以a的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，有成立，则；（2）若，有成立，则；（3）若，有成立，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知向量，函数
7、.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1），； （2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，整体法求出函数单调递增区间；（2）求出，数形结合得到，故，得到答案【小问1详解】，令，解得，故的单调递增区间为，；【小问2详解】，故，则，因为当时，所以，实数的取值范围为.16. 已知函数.（1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程；（2）当时，讨论函数的单调性.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程；（2）求导得，分，三种情况讨论可得单调区间.【小问1详解】当时，求导
8、可得，设函数在点的切线过点，所以，又，所以，又因为切线过点，所以，所以，解得，所以切线方程为，即.【小问2详解】由，可得，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，当时，由，可得，所以函数在上单调递增，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.17. 如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三
9、个出口的道路PQ，PC，PD.设，道路总长度为y.（单位：百米）（1）分别求y关于x和y关于的函数关系式；（2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小.【答案】（1）； （2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助等腰梯形的性质和勾股定理，以及锐角三角函数求出关系式即可；（2）运用三角关系式，借助导数研究单调性，进而来求最值即可.【小问1详解】如图，过A作于E, 过B作于F,延长交于G.由于距离C，D两点相等的一点P，则.根据题意，由等腰梯形性质，知道,在中,求得,且，则.在中,求得.故y关于x的关系式为：，即.在中，且，则.并且,则.则y关于的关系式为：，即.【小问2详解】用,求导得到.令，则，则.当,单调递减；当,单调递增；故当，y取得最小值.且综上所得，当时,三条道路的总长度最小.18. 在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，进而可求；（2）由已知可得，计算可得，利用基本不等式可求面积的最大值.【小问1详解】由，可得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以；【小问2详解】因为，所
