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1、参考答案第一章例1【解析】如下图所示，延长AD至点E,使得D E=A D,连接CE.VAD=ED,ZADB=ZEDC,BD=CD,AAABDAECD.ACE=BA.在AACE 中，AC-CEAEAC+CE,即 2012VAEV20+12,A8AE32.,AD=-A Ef2A4AD16.例2【解析】证法一：如 下 图（a）所示，延长AD至点G,使DG=A D,连接BG.VDB-DC,ZBDG-ZCDA,AD-GD./.ADCAGDB./.AC=GB.ZG=ZEAF.又 ，AF=EF,AZEAF=ZAEF.VZAEF=ZBED,A Z G=Z B E D,，B E=B G,，BE=AC.证法二：如
2、 下 图（b）所示，延长ED至点G,使得DG=DE.连接CG.丁点D是BC中点，.BD=CD.VZBDE=ZCDG,/.ABEDACGD.AZG=ZBED,BE=CG.VAF=EF,:.ZFAE=ZAEF=ZBEG,A Z G=Z D A C,即NG=NEAF,AAC=GC.，AC=BE.AA例2后变式1【解析】答：AF=EF如下图所示，延长AD至点G,使DG=AD,连 接BG,VBD=CD,ZBDG=ZCDA,AD=GD./.ADCAGDB(S A S).，AC=GB,ZG=ZEAF.又 B E=A C,，BE=BG.AZG=ZBED,VZBED=ZAEF.NAEF=NFAE,，FA=FE.
3、A例2后变式2【解析】证法一：如 下 图（a）所示，延长FE到点H,使H E=FE,连接BH.VCE=BE,NCEF=NBEH,FE=HE,/.CEFABEH（SAS）.，NF=NH,CF=BH.TAD 平分NBAC,AZ1=Z2.VAD#EF,A Z 1 =ZAGF=Z2=ZF=ZBGH./.ZBH G=ZB G H.，BG=BH.；BG=CF.证法二：如 下 图（b）所示，取AB的中点Q,连接EQ,则 EQAC,EQAC,AZQEC=ZF.VEF/AD,A Z F=Z 2=Z 1.VZQGE=Z1,NQEG=NF,ZFCA=Z1,NF=NFGA,NQGE=NQEG,故 EQ=GQ,AF=A
4、G.BQ=AQ=GQ+AG,ABG=BQ+GQ=2GQ+AG.V2GQ=2EQ=AC,.BG=AC+AF=CF.证法三：如 下 图(c)所示，过B、C分别作EF的垂线BP、C Q,垂定为P、Q,AZBPE=ZCQE.；BPCQ,A ZPBE=ZQCE.又 BE=CE,ARtABPFRtACQE,ABP=CQ.又EFAD,Z1=Z2,A ZF=Z2,ZBGP=Z1.,.N B C P=N F,又 NBPE=NFQC,ARtABPGRtACQF.；BG=CF.证法四：如 下 图(d)所示，分别取AB、AC之中点Q、S,连接EQ、ESIE 为 BC 的中点，EQ=AC,E S=-A B .贝IBQ=
5、ES,CS=EQ.2 2FD,/.BE+CFEF.A例 3 后变式2【解析】证明：如下图所示，延长M D至点E,使 D E=D M.连接CE、NE,VBD=CD,ZBDM=ZCDE,/.BMDACED.BM=CE,ZBM D=ZCED.是 ME 的中点，BM2ZCN2=DM2+DN2,DMDN,J CE2+CN2=DE2+DN2=NE2.AZNCE=90.即 ECJ_AC,V Z B M D=Z D E C,，ABCE.AABAC.NBAC=90.，Y IA AD2=-B C =-(A B2+C2).1 2 J 4例 4【解析】证明：如下图所示，连接DF、DE.BE、C F分别为边AC、A B
6、上的高，NBEC=NBFC=90,在 RtABFC 和 RtABEC 中，YD 是 BC 边中点，J O E =DF=-B C.2 2 DE=DF.又.DM _LEF,，FM=EM.例 5【解析】如下图所示，延长BM 交 C E于点N,V Z A B D-ZACE-9O0,DBCE,AZMDB=ZMEN.VMD=ME,ZBM D=ZNM E,/.MBDAMNE.A MB=M N,即 M 是 BN 中点.V ZBCN=90，MC=MB.例6【解析】证明：(1)如 下 图(a)所示，连接B D,取BD的中点H,连接HE、HF,VAB=DC,F、F分别是BC,AD的中点./.FH=-A B,FHMB
7、.HE=-D C ,HENC.22，HE=HF,AZHFE=ZHEF.FHMB,HENC.AZBME=ZHFE,ZCNE=ZFEH.AZBME=ZCNE.（2）等腰三角形（提示：取AC中点H,连接FH、EH）.（3）ZXAGD是直角三角形证明：如 下 图（b）所示，连接B D,取BD的中点H,连接HF、HE.M(a)(b)F是AD的中点，HFAB,HF=-A B.2AZ1=Z3.同理，HECD,HE=-C D,A Z 2=Z EFC.2VAB=CD,HF=HE,/.Z 1 =Z2.VZEFC=60,/.Z 3=ZEFC=ZAFG=60.AGF是等边三角形.AAF=FG,AGF=FD,A ZFG
8、D=ZFDG=30，NAGD=90,即ZXAGD是直角三角形.例 7【解析】证法一：如 下 图(a)所示，延长C E到点F,使 E F=C E,连接BF.丁点E 是 A B的中点，AE=EB.：AE=BE,ZAEC=ZBEF,CE=FE,AAEACAEBF(SAS).，BF=AC=BD,ZEB F=ZA.VAB=AC,AZABC=ZACB,J NFBC=ZFBE+ZEBC=Z A+ZACB=ZDBC.VFB=DB,ZFBC=ZDBC,BC=BC,/.FBCADBC(SAS).ACD=CF=2CE.证法二：如 下 图(b)所示，延长C E到点H,使得E H=C E,连接AH.Y E 是 A B
9、中点，AE=EB.VEH=EC,ZAEH=ZCEB,AE=EB,AEHBEC.AZCBE=ZHAE.又 AC=AB,.ZBCA=ZA BC.：ZCBD=ZCAB+ZBCA,ZCAH=ZCAB+ZHAE,AZCBD=ZCAH.VAB=BD,AC=BD.VAC=BD,ZCAH=ZDBC,AH=BC,/.CAHADBC.DC=HC=2CE.证法三：延长BC到点F,使 C F=C B,如 下 图（c）所示.VAE=EB,：.C E =-A F.2XVAB=AC,AZACB=ZABC.VZFCA=180-ZACB,ZCBD=180-ZABC,A ZFCA=ZCBD.VAB=AC,AB=BD,AAC=BD
10、.VFC=CB,ZFCA=ZCBD,AC=DB,/.FCAACBD.，AF=DC.V CE=-A F ,J CE=-C D ,即 CD=2CE.2 2证法四：如 下 图(d)所示，取CD中点F,连接FB.点 B 为 AD 中点，A FB=-A C ,FBAC.2VAC=AB,AE=EB,AFB=EB.VAC=AB,.ZABC=ZACB,又 BFAC,AZACB=ZFBC.A ZEBC=ZFBC.VEB=BF,NEBC=NFBC,CB=CB,AACEBACFB.ACF=CE.*：CF=-C Dt：,C E=-C D,即 CD=2CE.(C)(d)证法五：如 下 图(e)所示，延长AC至点F,使C
11、 F=A C.连接BF、DF.AF=2AC=2AB=AD.VAC=AB,ZA=ZA,AD=AF,AAABFAACD.BF=CD.T E是AB中点，CE是AABF的中位线./.CE=-B F =-C D.ACD=2CE.2 2证法六：如 下 图(f)所示，取AC中点F,连接FB.点B为AD的中点，FBCD,FB=-C D.2VAB=AC,.e.ZA BC=ZA CB,同JNEBC=NFCB.丁点E为AB的中点，点F为AC的中点，FC=EB.VEB=FC,NEBC=NFCB,BC=BC,A A E B C A F C B.，CE=BF.V FB=-C Df：.CE=-C D ,即 CD=2CE.2
12、 2(e)例 8【解析】问 题 1 k 的值为1.问题2证明：如下图所示.VCB=CA,AZCAB=ZCBA.VZM AC=ZM BC,:.ZC A B-ZM A C=Z C B A-Z M B C,即ZM AB=ZM BA.A MA=MB.VMEBC,M F_LAC,垂足分别为点E,F,AZAFM=ZBEM=90.VZAFM=ZBEM,ZM AF=ZM BE,MA=MB,/.AFMABEM.A A F-BE.点D 是 AB边的中点，BD=AD.VBD=AD,ZDBE=ZDAF,BE=AF,/.BDEAADF.，DE=DF.A问题3解：DE=DF.证明：分别取AM,BM 的中点G,H,连接DG
13、、FG、DH.E H,如下图所示.丁点D,G,H 分别是AB、AM、BM 的中点，DGBM,DHA M,且DH=-AM .2 2J 四边形DHMG是平行四边形，NDHM=NDGM.VMEBC,M F A C,垂足分别为点E、F,A ZAFM=ZBEM=90.A FG=-A M =AG,EH=LBM=BH.2 2 FG=DH,DG=EH,ZGAF=ZGFA,ZHBE=ZHEB.AZFGM=2ZFAM,ZEHM=2ZEBM.VZFAM=ZEBM./.ZFGM=ZEHM.AZDGM+ZFGM =N DHM+NEHM,即 NDGF=Z DHE.VEH=DG,NEHD=NDGF,HD=GF,.,.EHD
14、ADGF.，DE=DF.小 试 1【解析】解法一：如 下 图（a）所示，连接BD,YBD是RtABC斜边上的中线，A BD=-A C =CD=AD.*.ZC=Z1=45.2/.Z2=90-Z l=9 0 -45=45./.ZC=Z2.又 N3+N4=90,N4+N5=90,A Z3=Z5.AABEDACFD./.DE=DF.V Z3+Z6=90,N3+N4=90,，N4=N6.又 N1=NA=45,/.AEDABFD.AAE=BF=4.又 A B=B C,，BE=FC=3.A EF=lEB2-BF2=A/32+42=5.解法二：如 下 图（b）所示，延长ED至点G,使得DG=D E,连接GF、
15、GC.VAD=CD,ZADE=ZCDG,AAAEDACGD.，CG=AE=4,CGAE.VZB=90,/.ZGCB=90./.GF=ycG2+CF2=5.X DE IDF,DE=DG,I.DF是GE的垂直平分线.，EF=GF=5.小试2【解析】证明：如下图所示，延长AC至点F,使C F=A C,连接BF,VBC=CD,ZBCF=ZDCA,AABCFADCA.，BF=AD.VAD=BE,BE=BF.VAE=2AC,AF=2AC,/.AE=AF.AABEF.,.ZBAC=90.二 ABC是直角三角形.E小试3【解析】证明：如下图所示，延长C F交 DA延长线于点N.丁四边形ABCD为正方形，ADB
16、C,ZN=ZM CB.T F 是 A B 中点，AF=BF.V Z N=Z FC B,ZNFA=ZCFB,AF=BF.A A A N F B C F.，AN=BC=AD.A 是 DN 的中点.VDECF,.ZN M D=90.A AM =-D N =A D.2小试4【解析】证明：如下图所示，延长AM 至点F,使 MF=AM.连接BF交 AD 于点N,交 CD 于点O.易证AMEgZFMB,AE=FB,ZEA F=ZF,AAE/FB,ZANF=90.VZCAD+ZDAB=90,ZDAB+ZABN=90.AZCAD=ZABN.VAD=AE,AD=BF./.ACDA A B F,A Z D=Z F.V Z D+ZDON=ZFOH+ZF=90,A ZAHD=90,即 AMCD.AD小试5【解析】证明：如下图所示，连接BP、CR.四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC,OA=OB,OC=OD.VZAOB=60,.AOB、ACOD 都是正三角形，T P 是 O A 的中点，R 是 O D 的中点，BP_LOA,CROD.PQ、RQ分别是直角三角形PBC、ARBC斜边上的中线.PQ=；BC=QR,TP
