《湖南省衡阳市衡阳县2025届高三一模 数学试题[含答案]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省衡阳市衡阳县2025届高三一模 数学试题[含答案]（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、衡阳县2025届高考第一次模拟试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.复数满足，
2、则的实部为（ ）A. B. C. D.3.已知古典概型的样本空间，“事件”，则命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知，则（ ）A. B. C. D.5.的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D.6.某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（ ）个人.A. B. C. D.7.已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于，点，且，若.则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.8.平面直角坐标系中，若过点，作斜率不为0
3、的直线，使得与正弦曲线的交点中，存在点，满足是线段的中点，则称是曲线的“平均割线”，为“平衡点”，则对任何一个整数，下列描述正确的是（ ）A.为偶数时，存在“平均割线”B.若存在“平均割线”，则唯一C.若存在“平均割线”，则所有“平衡点”共线D.若存在“平均割线”，则所有“平衡点”，中间隔相等，按从小到大顺序排列成等差数列二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.已知一组样本数据：，.其中，将改组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（ ）A.序列不可能既是等比数列又是等差数列 B.若成等比
4、数列，和有组可能取值C.若成等差数列，和有组可能取值 D.若该数据平均数是，则方差最小值为10.按指对数运算律定义两个函数与，则（ ）A.在定义域上单调递增 B.在定义域上单调递减C. D.若存在，则11.，非常数函数都有，则下列结论正确的是（ ）A. B.若，是偶函数C.若，则 D.的值不可能是第卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知三角形中，是上中线的三等分点满足，记，则_.13.函数的值域为_.14.已知由系列圆构成的点集为，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分（空白区域），给出以下命题：图形内部空白区域的面积最小值为 图形到原点的最小
5、距离为时，图形关于直线对称 时，图形内外边界的长度和为其中正确的有_.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）如图所示，在三棱柱中，侧面底面，分别为棱和的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.16.（15分）已知函数（1）若在处的切线方程为，求、的值；（2）若时，在上恒成立，求的取值范围；17.（15分）如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，过点的直线与交于点与点.（1）求面积的最大值；（7分）（2）设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明
6、理由.（8分）18.（17分）学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有个台阶，从下至上记台阶所在位置为，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨或个台阶（位置或）.（1）记甲迈步后所在的位置为，写出的分布列和期望值.（2）求甲步内到过位置的概率；（3）求步之内同时到过位置和的有多少种走法，及发生的概率.19.（17分）某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.（1）试写出，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下；
7、（2）这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式；（3）若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给个人.（已知）数学答案1.【答案】D【解析】为函数的值域，令或，为函数的定义域，即，定义域为，故，故选D.2.【答案】C【解析】设，所以的实部为，故选C.3.【答案】A【解析】样本空间中事件包含样本点个数可能为，对应的概率可能值为，事件与事件相互独立，有时，即 “事件”是命题“事件与
8、事件相互独立”的充分条件，即，且或时事件与事件相互独立，此时“事件”，故命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的充分不必要条件，故选B.4.【答案】C【解析】由已知可得解得，.故，故选C.5.【答案】D【解析】，项对应，项对应 系数为，展开后系数为，故选D.6.【答案】C【解析】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况，若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即，故至少要选个人，故选C7.【答案】C【解析】如图，由令，则，由双曲线定义，在中由余弦定理，故在中由余弦定理，故选C.8.【
9、答案】C【解析】由题意，设， 则，满足 .当为偶数时，式为或，直线与轴重合，与题意不符，故不存在“平均割线”；当为奇数时，若，式为，（若，），由于有无穷解，如图，故对任一为奇数有无数条“平均分割线”；亦有无穷个，且在同一直线上，不成等差.9.【答案】A、B【解析】若为等比数列，由，可知若成等比公比小于，正负交替，而等差数列具单调性，相互矛盾，故不可能既是等比数列又是等差数列，A项正确；若排列后成等比数列，设公比绝对值大于有：公比为，数列为，数列为，.公比为，数列为，公比绝对值小于，对应同解，故，有组可能取值，B项正确；由，若，若排序后成等差数列，设公差大于有：公差，数列为，；公差，数列为，不符
10、；公差，数列为，不符；公差小于，对应上述倒序排列，同解，故，有组可能取值，C项错误；数据平均数是1，方差. D项错误；故选AB10.【答案】B、C、D【解析】由，时，单调递减，时，单调递增，故A项错误；，可知在单调递减，故B项正确；，由，由，故C项正确；由，则，令， ，故上单调递减，故，又由时，单调递增得，故D项正确.故选BCD11.【答案】A、B、C【解析】条件，取，有即，若，则为常数，故，A项正确；由，式中取有，再取，有或.若则，则式为即为偶函数，B项正确；若取，式为，由B项知为偶函数，中令，有，令，有（替换成），联立，结合，可知，故，故C项正确；取符合式，故，D项错误.故选ABC.12.
11、【答案】【解析】如图，所以.13.【答案】【解析】，周期，且关于点对称，故只要考虑的值域，设，满足，可知，或时，单调递增，单调递减，且，由且， ，由， 故由图象关于点对称，上，周期性可知在上值域为14.【答案】【解析】如图，当时，内部空白区域面积最小，即半径为的圆，内部空白区域的面积最小值为，项正确；图形到原点距离为，方法一（计算）：由，（其中），时，取最小值.方法二（分析）：由构成该图形的动圆中，圆心到原点距离，半径，故每个圆到原点最小距离均为，故图形到原点的最小距离为，正确；时，若点，存在参数满足，则点与点关于直线对称，由，取代入，即点也在中，故时，图形关于直线对称，正确；时，如图，内边界
12、的长度，其中为圆，半径为，、为圆半径为外边界，而由，为半圆，半径为，为半圆半径为，为圆，半径为，为圆，半径为，故内外边界和为，错误.故答案为.15.【解析】（1）证明：取的中点，连接，在中，分别为，的中点，且.在三棱柱中，.又为棱的中点，且，四边形为平行四边形，又因为平面，平面，所以平面.（2）三棱柱中所有棱长都相等，则与都是等边三角形，取上的四等分点，满足则四点共面.由平面平面，平面平面，平面平面平面，且，则如图：可建立以为原点，所在直线分别为，轴的空间直角坐标系，令可知，设平面法向量为，则，底面的法向量，设二面角的平面角为，则，由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.16.【解析】（1
13、），故，.（2） ，故若上恒成立，故是在上的极小值，下证时，,令，,在上单调递减，由零点存在定理，使得，在上，单调递增，在上，单调递减，由零点存在定理，使得在上，单调递增，在上，单调递减，所以上，在上，单调递增，单调递减所以,综上，只有时上，.17.【解析】（1）由，设，由题意，联立得，,整理得，由，且，所以的面积，令，则，当且仅当，即，时（此时适合的条件）取得等号.故面积的最大值为.（2）设椭圆上存在满足条件的点，定值，由题意， ，由，在上，当，时，该等式成立与取值无关，此时，故满足条件的椭圆上的点对应或对应.18.【解析】（1）由题意可知甲每步跨或个台阶的概率都为，可能的取值为，.取值分别对应步中分别有，次跨两个台阶.故，的分布列如下，.（2）步内到
