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1、2024-2025学年辽宁省名校联盟高一（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=N，集合B=x|3x3，则AB=()A. NB. 2,1,0,1,2C. 0,1,2D. 1,22.设a，bR，则“a1且b1”是“a+b2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如果实数集R的子集X满足任意开区间(a,b)(其中aba(ba0,m0)B. a2+b2 22(a+b)(a0,b0)C. 2aba+b ab(a0,b0)D. a+b2 ab(a0,b
2、0)5.一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍，则这一群学生总人数为()A. 66B. 87C. 99D. 前三个答案都不对6.设有限集M所含元素的个数用card(M)表示，并规定card()=0.已知集合A，B满足AB=1,2,3,4,5,6，AB=，若card(A)A，card(B)B，则满足条件的所有不同集合A的个数为()A. 3B. 6C. 10D. 647.设y=(xa)axb1，若y0恒成立，则a2+b2的最小值是()A. 0B. 12C. 1D. 28.若
3、关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不同的实数解，则k的取值范围为 ()A. (0,1)B. 14,1C. 14,+D. (1,+)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关系正确的是()A. 12RB. |3|NC. 3QD. NQ10.若a，b0，且a|c|b|c|，则下列不等式一定成立的是()A. abB. 1abD. a|c|b|c|11.设a0，b0，a+b=ab，则()A. ab的最小值为4B. a+4b的取值范围是9,+)C. (a+1)(b+1) ab的最小值为2 2D. 若c1，则(a+ba+25ab)c+1c1的最小值为15三
4、、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若1, a1,2,a2，则a= _13.已知二次函数y=(ax1)(xa)，甲同学：y0的解集为(,a)(1a,+)；乙同学：y0的解集为(,a)(1a,+)；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是_14.定义maxM为数集M中最大的数，已知0abc1，若b3a或a+b12，则maxba,cb,1c的最小值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)九章算术第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一
5、燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？集称之衡：集中在一起用衡器称；交而处：交换位置放；衡适平：重量恰好相等(1)设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题；(2)在(1)的条件下，设集合A=x|mx38n，B=x|2p1xp+1，若BA，求p的取值范围16.(本小题15分)(1)证明： 6 50且abc=12，求证：ab2a3+1+bc2b3+1+ca2c3+1117.(本小题15分)设矩形ABCD(其
6、中ABBC)的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交CD于点P(1)证明：ADP的周长为定值；(2)设AB=x，且记ADP的面积为S(x).求当x为何值时，S(x)取得最大值，并求出最大值18.(本小题17分)已知y=ax2(a+3)x+3(1)当a= 3时，方程y=0的两根分别为x1，x2，若存在x，使x12+x22|x1|+|mx|成立，求m的取值范围；(2)若aR，求不等式ax2(a+3)x+30的解集19.(本小题17分)对于题目：已知m0，n0，且m+2n=3，求A=1m+2n的最小值.同学甲的解法：因为m0，n0，所以1m0，2n0，所以1m+2n2 2mn，m+2n
7、2 2mn，A=1m+2n=13(m+2n)(1m+2n)132 2mn2 2mn=83，所以A的最小值为83.同学乙的解法：因为m0，n0，所以A=1m+2n=13(m+2n)(1m+2n)=13(1+2nm+2mn+4)13(5+4)=3，当且仅当2nm=2mn，即m=n=1时等号成立，所以A的最小值为3(1)请对两位同学计算结果的正确性作出评价(需指明错误原因)；(2)为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知m0，n0，且m+2n=3(i)求B=m2m+1+2n2+2n的最小值；(ii)求C=2m+5n+1m+n的最小值参考答案1.C2.A3.B4.D5.A6.C7.B8.C
8、9.AC10.ACD11.ABD12.013.(,114.2715.解：(1)根据题意，可列方程组为4n+m=5m+n5n+6m=1，解得m=338n=219，所以每只燕重338斤，每只雀重219斤；(2)由(1)可得集合A=x|3x4，因为BA，当B=时，符合BA，则p+12，当B时，即p2且2p13p+14，且等号不同时成立，解得1p2，综上所述，p的取值范围是1,+)16.证明：(1)(反证法)：假设 6 52 3，即 6+ 32+ 5，两边平方得9+6 29+4 5，即3 22 5，即1820，这与1820矛盾，因此假设不成立，故 6 5 6 5，只需证2+ 5 6+ 3，只需证(2+
9、 5)2( 6+ 3)2，即证9+4 59+6 2，即证2018，因为2018成立，所以2 3 6 5成立法三(综合法)： 6 5=65 6+ 5=1 6+ 5，2 3=432+ 3=12+ 3，因为 6+ 52+ 30，所以1 6+ 512+ 3，所以 6 50，b0，c0，所以a2+b22ab0，a2+c22ac0，b2+c22bc0，当且仅当a=b=c时，上述三个等号同时取得，故ab2a3+1+bc2b3+1+ca2c3+1 =ab2a3+2abc+bc2b3+2abc+ca2c3+2abc =b2a2+2bc+c2b2+2ac+a2c2+2abb2a2+b2+c2+c2a2+b2+c2
10、+a2a2+b2+c2=117.证明：(1)由题意可知，APD=BPC，ADP=PBC，AD=BC，所以ADPPBC，所以AP=PC，所以AD+DP+PA=AD+DP+PC=AD+DC=12，所以ADP的周长为定值；解：(2)在RtADP中，因为AD2+DP2=PA2，所以(12x)2+DP2=(xDP)2，解得DP=1272x，所以S(x)=12ADDP=12(12x)(1272x)=6(1872xx)，因为ABBC，所以6x3时，不等式的解集为x|x3a或x1，当a=0时，不等式的解集为x|x1；当0a3时，不等式的解集为x1或x3a；当a=3时，不等式的解集为R；当a0，n0，且m+2n
11、=3，可得2n+(m+1)=4，所以14(m+1)+2n=1，(i)B=m2m+1+2n2+2n=(m+1)22(m+1)+1m+1+2n2+2n =m+12+1m+1+2n+2n=2+1m+1+2n =2+14(m+1)+2n(1m+1+2n)=2+141+2(m+1)n+2nm+1+4 2+14(5+4)=174，当且仅当2(m+1)n=2nm+1，即n=m+1，即m=13，n=43时等号成立，即B的最小值为174；(ii)m+2n=3，可得8n+4m=12，即(5n+m)+(3n+3m)=12，即112(5n+m)+3(n+m)=1，所以C=2m+5n+1m+n=112(m+5n)+3(m+n)(2m+5n+1m+n) =1122+m+5nm+n+6(m+n)m+5n+3112(5+2 6)=512+ 66，当且仅当m+5n= 6(m+n)，即m=218 6，n=4 69时等号成立，即C的最小值为512+ 66第8页，共8页
