2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 正方形存在问题(含答案)

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1、2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习正方形存在问题如图,抛物线ya(xh)2k(a0)的顶点为A,对称轴与x轴交于点C,当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为美丽抛物线,正方形ABCD为它的内接正方形(1)当抛物线yax21是美丽抛物线时,则a ;当抛物线yx2k是美丽抛物线时,则k ;(2)若抛物线yax2k是美丽抛物线时,则请直接写出a,k的数量关系;(3)若ya(xh)2k是美丽抛物线时,(2)a,k的数量关系成立吗?为什么?(4)系列美丽抛物线ynan(xn)2kn(n为小于7的正整数)顶点在直线yx上,且它们中恰有两条美丽抛物

2、线内接正方形面积比为1:16求它们二次项系数之和如图1,抛物线yax22xc经过点A(1,0)、C(0,3),并交x轴于另一点B,点P(x,y)在第一象限的抛物线上,AP交直线BC于点D(1)求该抛物线的函数表达式;(2)当点P的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP的面积;(3)点Q在抛物线上,当的值最大且APQ是直角三角形时,求点Q的横坐标;(4)如图2,作CGCP,CG交x轴于点G(n,0),点H在射线CP上,且CHCG,过GH的中点K作KIy轴,交抛物线于点I,连接IH,以IH为边作出如图所示正方形HIMN,当顶点M恰好落在y轴上时,请直接写出点G的坐标如图,某一次函数与二次函数yx2m

3、xn的图象交点为A(1,0),B(4,5)(1)求抛物线的解析式;(2)点C为抛物线对称轴上一动点,当AC与BC的和最小时,点C的坐标为 ;(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点,过点D作DEx轴,交线段AB于点E,求线段DE长度的最大值;(4)在(2)条件下,点M为y轴上一点,点F为直线AB上一点,点N为平面直角坐标系内一点,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形,请直接写出点N的坐标如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数yx2bxc(b0,c0)图象的顶点是点A,对称轴为直线l,图象与y轴交于点C点D在l右侧的函数图象上,点B在DC延长线上,且四边形ABOD是平行四边

4、形(1)如图2,若CDx轴求证:b24c;若ABOD是矩形,求二次函数的解析式;(2)当b2时,ABOD能否成为正方形,请通过计算说明理由已知抛物线yax2bxc(a0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC3(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;(3)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQQC是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由我们规定:在正方形ABCD中,以正方形的一个顶点A为顶点,且过对角顶点C的抛物线,称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线(1)在平面直角坐标系xOy中,点在轴正半轴

5、上,点C在y轴正半轴上如图1,正方形OABC的边长为2,求以O为顶点的对角抛物线;如图2,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为a,其以O为顶点的对角抛物线的解析式为yx2,求a的值;(2)如图3,正方形ABCD的边长为4,且点A的坐标为(3,2),正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q,直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标在平面直角坐标系中,已知抛物线L1:y=ax2bxc经过A(2,0),B(1,)两点,且与y轴交于点C,点B是该抛物线的顶点(1)求抛物线L1的表达式;(2)将L1平移后得到抛物线L2,点D,E在L2上(点D在点E的上

6、方),若以点A,C,D,E为顶点的四边形是正方形,求抛物线L2的解析式如图,抛物线yx2bxc经过A(3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,P为y轴上的动点,连接AP,以AP为对角线作正方形AMPN(1)求抛物线的解析式;(2)当正方形AMPN与AOP面积之比为5:2时,求点P的坐标;(3)当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时,直接写出点P的坐标如图,抛物线yax2bxc过(1,0),(3,0),(0,6)三点,边长为4的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴上,y轴上(1)求抛物线解析式,并直接写出当1x4时,y的最大值与最小值的差(2)将正方形OABC向右平移,平移距离记为h,当点C

7、首次落在抛物线上,求h的值当抛物线落在正方形内的部分,满足y随x的增大而减小时,请直接写出h的取值范围如图,已知直线yx1与坐标轴交于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E(1)求抛物线的解析式;(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止,设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;(3)在(2)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积答案解:(1)函数yax2k的图象如下:抛物线yax21是美丽抛物线时

8、,则AC1,四边形ABCD为正方形,则点D的坐标为(,),将点D的坐标代入yax21得:a()21,解得a2;同理可得,点D的坐标为(k,k),将点D的坐标代入yx2k得:k(k)21,解得k0(不合题意)或4;故答案为:4;(2)由(1)知,点D的坐标为(k,k),将点D的坐标代入yax2k得:ka(k)2k,解得ak2;(3)答:成立美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线美丽抛物线ya(xh)2k沿x轴经过适当平移后为抛物线yax2kak2;(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为(k,k)和(m,m),(k,m为小7的正整数,且km),它们的内接正方形的边长比为k:

9、m=1:4,m4k,这两条美丽抛物线分别为和,2,a112,a43a1a415答:这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为15解:(1)由题意得,该抛物线的函数表达式为:yx22x3;(2)当y0时,x22x30,x11,x23,B(3,0),PC2BC21(43)2(3232)20,PB2(31)24220,PC2BC2PB2,PCB90,SPBC3,SBOC,S四边形BOCPSPBCSBOC3;(3)如图1,作PEAB交BC的延长线于E,设P(m,m22m3),B(3,0),C(0,3),直线BC的解析式为:yx3,由x3m22m3得,xm22m,PEm(m22m)m23m,PEAB

10、,PDEADB, (m)2,当m时,()最大,当m时,y()223,P(,),设Q(n,n22n3),如图2,当PAQ90时,过点A作y轴平行线AF,作PFAF于F,作QGAF于G,则AFPGQA,n,如图3,当AQP90时,过QNAB于N,作PMQN于M,可得ANQQMP,可得n11,n2,如图4,当APQ90时,作PTAB于T,作QRPT于R,同理可得:,n,综上所述:点Q的横坐标为:或1或或;(4)如图5,作GLy轴,作RCGL于L,作MTKI于T,作HWIK于点W,则GLCCRH,ITMHWIRHOGn,CRGLOC3,MTIW,G(n,0),H(3,3n),K(,),I(,()2n3

11、3),TMIW,()2n6(3n),(n3)22(n3)120,n14,n24(舍去),G(4,0)解:(1)将A(1,0),B(4,5)代入yx2mxn得,抛物线的解析式为yx22x3;(2)设直线AB的函数解析式为ykxb,直线AB的解析式为yx1,ACBCAB,当点A、B、C三点共线时,ACBC的最小值为AB的长,抛物线yx22x3的对称轴为x1,当x1时,y2,C(1,2),故答案为:(1,2);(3)设D(a,a22a3),则E(a,a1),DE(a1)(a22a3)a23a4(1a4),当a时,DE的最大值为;(4)当CF为对角线时,如图,此时四边形CMFN是正方形,N(1,1),

12、当CF为边时,若点F在C的上方,此时MFC45,MFx轴,MCF是等腰直角三角形,MFCN2,N(1,4),当点F在点C的下方时,如图,四边形CFNM是正方形,同理可得N(1,2),当点F在点C的下方时,如图,四边形CFMN是正方形,同理可得N(,),综上:N(1,1)或(1,4)或(1,2)或(,)解:(1)yx2bxc(xb)b2c,顶点A(b,b2c),C(0,c),连接OA,交BD于点P,如图1,四边形ABOD是平行四边形,PAPO,P(b,b2c),CDx轴,b2cc,b24c;如图1,设抛物线对称轴交x轴于点E,则E(b,0),OEb,AEb2cb2b2b2,抛物线yx2bxc的对

13、称轴为直线xb,D(b,c),PDbbb,BD2PDb,ABOD是矩形,OABD,OA2BD2,OE2AE2BD2,(b)2(b2)2(b)2,b2b4b2,即b2(b2)(b2)0,b0,b2,c2,该二次函数的解析式为yx22x2;(2)当b2时,ABOD不可能是正方形理由如下:如图2,连接OA,交BD于点G,连接AC,当b2时,yx22xc(x1)2c1,抛物线顶点A(1,c1),若四边形ABOD是正方形,则GAGO,OABD,即BD是OA的垂直平分线,ACOC,AC2OC2,(10)2(c1c)2c2,c0,c,yx22x,A(1,1),G(,+),C(0,),设直线CG的解析式为ykxd,则,解得:,直线CG的解析式为

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