2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 菱形存在问题(含答案)

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1、2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习菱形存在问题如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0),交y轴于C(0,3)(1)求抛物线的解析式;(2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点,设P的横坐标为t,P到BC的距离为h,求h与t的函数关系式,并求出h的最大值;(3)设点M是x轴上的动点,在平面直角坐标系中,存在点N,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形,直接写出所有符合条件的点N坐标如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2bxc与x轴分别交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)如图,点D与点C关于对称轴对称,点P在对称轴上,若BPD9

2、0,求点P的坐标;(3)点M是抛物线上一动点,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由如图,抛物线yax2bx6(a0)与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)若在线段BC上存在一点M,使得BMO45,过点O作OHOM交BC的延长线于点H,求点M的坐标;(3)点P是y轴上一动点,点Q是在对称轴上一动点,是否存在点P,Q,使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由如图,直线y2x8分别交x轴,y轴于点B,C,抛物线yx2b

3、xc过B,C两点,其顶点为M,对称轴MN与直线BC交于点N(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图1,点P是线段BC上一动点,过点P作PDx轴于点D,交抛物线于点Q,问:是否存在点P,使四边形MNPQ为菱形?并说明理由;(3)如图2,点G为y轴负半轴上的一动点,过点G作EFBC,直线EF与抛物线交于点E,F,与直线y4x交于点H,若,求点G的坐标如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2xc(a0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点COA、OB的长是不等式组的整数解(OAOB),点D(2,m)在抛物线上(1)求抛物线的解析式及m的值;(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小,则

4、OE ;(3)将抛物线向上平移,使点C落在点F处当ADFB时,抛物线向上平移了 个单位;(4)点M在在y轴上,平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,请直接写出点N的坐标如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),B(4,0)(1)求抛物线的解析式;(2)连接BC,在直线BC上方的抛物线上有一动点D,连接AD,与直线BC相交于点E,当DE:AE4:5时,求tanDAB的值;(3)点P是直线BC上一点,在平面内是否存在点Q,使以点P,Q,C,A为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由

5、在平面直角坐标系中,抛物线C1:yx24x2的顶点为A,与y轴交于点B,将抛物线C1绕着平面内的某一点旋转180得到抛物线C2,抛物线C2与y轴正半轴相交于点C(1)求A、B两点的坐标;(2)若抛物线C2上存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形,请求出此时抛物线C2的表达式如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2x2交x轴于点A、B,交y轴于点C(1)求ABC的面积;(2)如图,过点C作射线CM,交x轴的负半轴于点M,且OCMOAC,点P为线段AC上方抛物线上的一点,过点P作AC的垂线交CM于点G,求线段PG的最大值及点P的坐标;(3)将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新

6、抛物线为yax2bxc(a0),新抛物线y与原抛物线的交点为E,点F为新抛物线y对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由如图1,抛物线yax2bxc与x轴相交于点B、C(点B在点C左侧),与y轴相交于点A已知点B坐标为B(1,0),BC3,ABC面积为6(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P为直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PDAB,交线段AC于点D求PD长度的最大值及此时P点的坐标;(3)如图2,将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线,M为新抛物线对称轴l上一点,N为平面内一点,使得

7、以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,请直接写出点N的坐标,并写出求解其中一个N点坐标的过程如图,抛物线yax2bx4经过点A(2,0),点B(4,0),与y轴交于点C,过点C作直线CDx轴,与抛物线交于点D,作直线BC,连接AC(1)求抛物线的函数表达式,并用配方法求抛物线的顶点坐标;(2)E是抛物线上的点,求满足ECDACO的点E的坐标;(3)点M在y轴上,且位于点C的上方,点N在直线BC上,点P为直线BC上方抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长答案解:(1)抛物线yax2bxc过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,解得 ,抛物线的解析式为yx2

8、2x3;(2)如图1,过点P作PDx轴于点D,交BC于点E,PHBC于点H,连接PB、PC,B(3,0)、C(0,3),OBOC3,BC3,设直线BC解析式为ykxn,则,解得 ,直线BC解析式为yx3,点P的横坐标为t,且在抛物线yx22x3上,P(t,t22t3),又PDx轴于点D,交BC于点E,D(t,0),E(t,t3),PE(t22t3)(t3)t23t,SPBCPE( xBxC )(t23t)3t2t,又SPBCBCPH3 hh,ht2t,h与t的函数关系式为:ht2t(0t3),当t时,h有最大值为;(3)存在若AM为菱形对角线,如图2,则AM与CN互相垂直平分,N(0,3);若

9、CM为菱形对角线,如图3和图4,则CNAMAC,N(,3)或N(,3);若AC为菱形对角线,如图5,则CNAMCM,设M(m,0),由CM2AM2,得m232(m1)2,解得m4,CNAMCM5,N(5,3)综上可知存在点N,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形,符合条件的点N有4个:(0,3)或(,3)或(,3)或(5,3)解:(1)将点A(1,0)、点C(0,3)代入yx2bxc,解得,yx22x3,yx22x3(x1)24,抛物线的对称轴为直线x1;(2)令x22x30,解得x1(舍去)或x3,B(3,0),点D与点C关于对称轴对称,D(2,3),BD的中点H为(,),BD,BPD

10、90,PHBD,设P(1,t),()2(t)210,解得t1或t2,P(1,1)或(1,2);(3)存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,理由如下:设M(m,m22m3),N(1,n),当AB为菱形的对角线时,AMAN,解得,N(1,4);当AM为菱形对角线时,ABAN,此时无解;当AN为菱形对角线时,ABAM,此时无解;综上所述:N点坐标为(1,4)解:(1)抛物线yax2bx6经过点A(1,0),B(3,0)两点,解得:,抛物线的解析式为y2x24x6;(2)由(1)得,点C(0,6),设直线BC的解析式为ykxc,直线BC经过点B(3,0),C(0,6),解得:直线BC的解析式为y2

11、x6,设点M的坐标为(m,2m6)(0m3),如图1,过点M作MNy轴于点N,过点H作HKy轴于点K,则MNOOKH90,OHOM,MOH90,OMB45,MOH是等腰直角三角形,OMOHMONKOH90,OHKKOH90,MONOHK,OMNHOK(AAS),MNOK,ONHKH(2m6,m),点H(2m6,m)在直线y2x6上,2(2m6)m,解得:m,把m代入y2x6得:y,当OMB45时,点M的坐标为(,);(3)存在,理由如下:抛物线的解析式为y2x24x62(x1)28,顶点为D,点D的坐标为(1,8),分两种情况讨论:当CD为菱形的边时,如图2,过C作CEDQ于EC(0,6),D

12、(1,8),CD,DQCD,Q点的坐标为(1,8)或(1,8);当CD为菱形的对角线时,如图3,设点Q(1,m),P(0,n),C(0,6),D(1,8),mn6814,n14m,P(0,14m),PC14m68m,CQ,PCCQ,8m,解得:m,点Q的坐标为(1,);综上所述,点Q的坐标为(1,8)或(1,8)或(1,)解:(1)直线y2x8分别交x轴,y轴于点B,C,B(4,0),C(0,8),抛物线yx2bxc过B,C两点,解得:,抛物线的解析式为yx22x8;(2)不存在点P,使四边形MNPQ为菱形理由如下:设P(t,2t8),PDx轴,PDy轴,即PQy轴,则Q(t,t22t8),P

13、Qt22t8(2t8)t24t,yx22x8(x1)29,抛物线的顶点为M(1,9),对称轴为直线x1,N(1,6),MN963,MNy轴,PQMN,要使四边形MNPQ为菱形,必须PQMNPN,由t24t3,解得:t1或t3,当t1时,点P与点N重合,点Q与点M重合,舍去;当t3时,P(3,2),Q(3,5),PQ523,PQMN,PQMN,四边形MNPQ是平行四边形,PN2,PNMN,故四边形MNPQ不能为菱形(3)如图(2),连接MG,过点H、E、F分别作y轴的垂线,垂足依次为K、L、T,设G(0,m),EFBC,直线BC:y2x8,直线EF的解析式为y2xm,直线EF与直线y4x交于点H,解得:,H(m,2m),HKm,GKm,在RtGHK中,HGm,直线EF与抛物线交于点E,F,

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