2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 线段和最值问题(含答案)

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1、2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 线段和最值问题如图,已知抛物线y(x2)(xa)(a0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧(1)若抛物线过点M(2,2),求实数a的值;(2)在(1)的条件下,解答下列问题;求出BCE的面积;在抛物线的对称轴上找一点H,使CHEH的值最小,直接写出点H的坐标如图1,抛物线yax22xc与x轴交于A(4,0),B(1,0)两点,过点B的直线ykx分别与y轴及抛物线交于点C,D(1)求直线和抛物线的表达式;(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,PDC为直角三角形?请

2、直接写出所有满足条件的t的值;(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DMMN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bxc交x轴于A、B两点(A在B的左侧),且OA3,OB1,与y轴交于C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(1,4)(1)求A、B两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)过点D作直线DEy轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合),PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点

3、P运动时,EFEG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由如图,抛物线yax2bxc与x轴交于原点O和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1)(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线yax2bxc上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y2的距离总相等证明上述结论并求出点F的坐标;过点F的直线l与抛物线yax2bxc交于M,N两点证明:当直线l绕点F旋转时,是定值,并求出该定值;(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,直接写出P,Q的坐标如图,抛物线yx2bxc与x轴交于点A,点B,与y轴

4、交于点C,抛物线的对称轴为直线x1,点C坐标为(0,4)(1)求抛物线表达式;(2)在抛物线上是否存在点P,使ABPBCO,如果存在,求出点P坐标;如果不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若点P在x轴上方,点M是直线BP上方抛物线上的一个动点,求点M到直线BP的最大距离;(4)点G是线段AC上的动点,点H是线段BC上的动点,点Q是线段AB上的动点,三个动点都不与点A,B,C重合,连接GH,GQ,HQ,得到GHQ,直接写出GHQ周长的最小值如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2bxc与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式(2)点D为第一象限内抛物线

5、上的一动点,作DEx轴于点E,交BC于点F,过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G,H,设点D的横坐标为m求DFHF的最大值;连接EG,若GEH45,求m的值在平面直角坐标系中,抛物线yx2bxc交x轴于A,B两点,点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0),点M为顶点(1)求抛物线的解析式;(2)过点M作y轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的平行线,交CM于点D,点H为OC上的任一点,将线段HB绕点H逆时针旋转90到HP求PCD的度数;(3)在(2)的条件下,将点H改为y轴上的一动点,连接OP,BP,求OPBP的最小值如图,已知抛物线yx2bxc与一直线相交于A(1,0),C(2

6、,3)两点,与y轴交于点N其顶点为D(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EFBD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求APC的面积的最大值(4)设点M的坐标为(3,m),直接写出使MNMD的和最小时m的值已知点A(2,0),B(3,0),抛物线yax2bx4过A,B两点,交y轴于点C(1)求抛物线的解析式;(2)点P是线段AC上一动点(不与C点重合),作PQBC交抛物线于点Q,PHx轴于点H连结CQ,B

7、Q,PB,当四边形PCQB的面积为时,求P点的坐标;直接写出PHPQ的取值范围在平面直角坐标系中,直线yx2与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线yx2bxc的对称轴是直线x与x轴的交点为点A,且经过点B、C两点(1)求抛物线的解析式;(2)点M为抛物线对称轴上一动点,当|BMCM|的值最小时,求出点M的坐标;(3)抛物线上是否存在点N,过点N作NHx轴于点H,使得以点B、N、H为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由答案解:(1)将M(2,2)代入抛物线解析式得:2(22)(2a),解得:a4;(2)由(1)抛物线解析式y(x2)(x4),当y0时,得:0(

8、x2)(x4),解得:x12,x24,点B在点C的左侧,B(4,0),C(2,0),当x0时,得:y2,即E(0,2),SBCE626;由抛物线解析式y(x2)(x4),得对称轴为直线x1,根据C与B关于抛物线对称轴直线x1对称,连接BE,与对称轴交于点H,即为所求,设直线BE解析式为ykxb,将B(4,0)与E(0,2)代入得:,解得:,直线BE解析式为yx2,将x1代入得:y2,则H(1,)解:(1)把A(4,0),B(1,0)代入yax22xc,得,解得:,抛物线解析式为:yx22x,过点B的直线ykx,代入(1,0),得:k,BD解析式为yx;(2)由得交点坐标为D(5,4),如图1,

9、过D作DEx轴于点E,作DFy轴于点F,当P1DP1C时,P1DC为直角三角形,则DEP1P1OC,即,解得t,当P2DDC于点D时,P2DC为直角三角形由P2DBDEB得,即,解得:t;当P3CDC时,DFCCOP3,即,解得:t,t的值为、(3)由已知直线EF解析式为:yx,在抛物线上取点D的对称点D,过点D作DNEF于点N,交抛物线对称轴于点M过点N作NHDD于点H,此时,DMMNDN最小则EOFNHD设点N坐标为(a,a),即,解得:a2,则N点坐标为(2,2),求得直线ND的解析式为yx1,当x时,y,M点坐标为(,),此时,DMMN的值最小为2解:(1)由抛物线yax2bxc交x轴

10、于A、B两点(A在B的左侧),且OA3,OB1,得A点坐标(3,0),B点坐标(1,0);(2)设抛物线的解析式为ya(x3)(x1),把C点坐标代入函数解析式,得a(03)(01)3,解得a1,抛物线的解析式为y(x3)(x1)x22x3;(3)EFEG8(或EFEG是定值),理由如下:过点P作PQy轴交x轴于Q,如图设P(t,t22t3),则PQt22t3,AQ3t,QB1t,PQEF,AEFAQP,EF(t22t3)2(1t);又PQEG,BEGBQP,EG2(t3),EFEG2(1t)2(t3)8解:(1)顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1),B(2,1),A(4,0),将点O、点A

11、、点B代入抛物线yax2bxc,得到,解得,yx2x;(2)设F(2,m),G(x,y),G点到直线y2的距离为|y2|,(y2)2y24y4,yx2x,(y2)2y24y4y2x24x4y2(x2)2,G到直线y2的距离与点(2,0)和G点的距离相等,抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y2的距离总相等;G到定点F的距离与点G到直线y2的距离相等,(x2)2(mx2x2)2(x2x2)2,整理得,m(mx22x)0,距离总相等,m0,F(2,0);设过点F的直线解析式为ykx2k,M(xM,yM),N(xN,yN),联立,整理得x2(44k)x8k0,xMxN44k,xMxN8k,

12、yMyN4k2,yMyN4k2,M到F点与M点到y2的距离相等,N到F点与N点到y2的距离相等,1,1是定值;(3)作B点关于y轴的对称点B,作C点关于x轴的对称点C,连接CB交x轴、y轴分别于点P、Q,BQBQ,CPCP,四边形PQBC周长BQPQPCBCBQPQCPCBCBCB,点C(3,m)是该抛物线上的一点C(3,),B(2,1),B(2,1),C(3,),直线BC的解析为yx,Q(0,),P(,0)解:(1)抛物线对称轴为x1,1,b1,将(0,4)代入yx2xc中,c4,yx2x4(2)如图1中,作PEx轴于点EABPBCO,PEBBOC90,PEBBOC, (此处也可以由等角的正切值相等得到),设P(m,m2m4),则PE|m2m4|,BE2m,当点P在x轴上方时:,解得m13,m22(不符题意,舍),当点P在x轴下方时:,解得m15,m22(不符题意,舍),P(3,)或(5,)(3)作MFx轴于点F,交BP于点R,作MNBP于点Nyx2x4=(x4)(x2),A(4,0),B(2,0),设yBPkxb1,将P(3,),(2,0)代入得解得k,b11,yBPx1,设M(a,a2a4),则R(a,a1),MR=a2a3,MNRRFB90,NRMFRB,MNRBFR,tanABP,在RtMNR中NR:MN:MR1:2:,MN(a)2,当a时,MN最大为(4)作Q点关于A

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