《中考数学二轮复习题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型6 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习题型突破练习题型9 二次函数综合题 类型6 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）（教师版）（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲教育 网址：类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）1（2023重庆统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中，(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来【答案】(1)；(2)取得最大值为，；(3)点的坐标为或或【分析】（1）待定系数法求二次函
2、数解析式即可求解；（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解【详解】（1）解：将点，代入得，解得：，抛物线解析式为：，（2）与轴交于点，当时，解得：，,设直线的解析式为，解得：直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，交于点，设，则，当时，取得最大值为，；（3）抛物线将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到平移后的抛物线与轴交于点，令，则，,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点则点的横坐标为，设，当时，解得：或，当时，解得
3、：综上所述，点的坐标为或或【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2（2023四川成都统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点(1)求抛物线的函数表达式；(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)点B的坐标为或或；(3)存在，m的值为2或【分析】（1）利用待定系数法求解即
4、可；（2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；（3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可【详解】（1）解：抛物线经过点，与y轴交于点，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：设，根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：当时，点B和点P关于y轴对称，；当时，则，整理，得，解得，当时，则，当时，则，综上，满足题意的点B的坐标为或或；（3）解：存在常数m，使得根据题意，画出图形如下图，设抛物线与
5、直线的交点坐标为，由得，；设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式为，令，由得，同理，可得直线的表达式为，则，过E作轴于Q，过D作轴于N，则，若，则，则，整理，得，即，将，代入，得，即，则或，解得，综上，存在常数m，使得，m的值为2或【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键3（2023湖北随州统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，
6、和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点(1)直接写出抛物线和直线的解析式；(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形与以，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线：；直线：；(2)或或；(3)，或，或，【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，进而得直线的解析式（2）由题得，分别求出，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法
7、表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标【详解】（1）解：抛物线过点，抛物线的表达式为，将点代入上式，得，抛物线的表达式为，即设直线的表达式为，将点，代入上式，得，解得直线的表达式为（2）解：点在直线上，且，点的坐标为，当为等腰三角形时，若，则，即，解得若，则，即，解得或（舍去）若，则，即，解得（舍去）或综上，或或（3）解：点与点相对应，或若点在点左侧，则，当，即时，直线的表达式为，解得或（舍去），即，即，解得，当，即时，即，解得（舍去）或（舍去）若点在点右侧，则，当，即时，直线的表达式为，解得或（舍去），即，解得，当，即时，即，解得或（舍去），综上，或，或，【点睛】本
8、题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键4.如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1
9、）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，B（4，0），C（0，4），设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
10、抛物线的解析式为：；（2）B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），PQ=-x+4-()=，当x=2时，线段PQ长度最大=4，此时，PQ=CO，又PQCO，四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），D是OC的中点，D（0，2），QNy轴，又，即：，设E（x，），则，解得：，（舍去），E（5，4），设F（0，y），则，当BF=EF时，解得：，当BF=BE时，解得：或，当EF=BE时，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）
11、 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键5.如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQ=CBA45时，求点P的坐标；(3)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆
12、定理判断ACB=90，继而可得ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得OCE是等腰直角三角形，可得OCE=45，进一步可推出ACE=CAQ，可得CEPQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，抛物线的解析式是；（2
13、）令x=0，则y=2，即C（0，2），AB2=25，ACB=90，ACO+CAO=CBA+CAO=90，ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，OCE=45，ACE=ACO+45=CBA+45=CAQ，CEPQ，C（0，2），E（2，0），直线CE的解析式为y=-x+2，设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，直线PQ的解析式为y=-x-1，解方程组，得或，点P的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，PHy轴，PHC=OCB，FPH=CGF，若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，C（0，2），B（4，0），直线BC的解析式为，设G（0，m），A（-1，0），直线AF的解析式为y=mx+m，解方程组，得，点F的坐标是，当CG=CF时，解得：（舍去负值），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），PH=；当FG=FC时，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），PH=2-=1.5；当GF=GC时，解得或m=2（舍去），此时直线AF的解析式为y=x+
