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1、吉林省多校2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1直线的倾斜角为( )A.B.C.D.2若方程表示圆,则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.3已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是( )A.B.C.D.4“”是“直线和直线平行且不重合”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5已知圆关于直线对称,则的最小值是( )A.2B.3C.6D.46已知,直线与的交点P在圆上,则r的最大值是( )A.B.C.D.7已知,分别是椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,P是
2、椭圆E上一点,与y轴交于点M.若,则椭圆E的离心率为( )A.或B.或C.或D.或8在平面直线坐标系中,定义为两点、的“切比雪夫距离”,又设点P及l上任意一点Q,称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作,给出下列四个命题:对任意三点A、B、C,都有;已知点P(3,1)和直线则;到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形;定点、,动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是( )A.4B.3C.2D.1二、多项选择题9以下四个命题表述正确的是( )A.过,两点的直线方程为B.已知直线l过点,且在x,y轴上截距相等,则直线l的方程为C.“直线与直线垂直”是
3、“”的必要不充分条件D.直线,的距离为10已知,是圆上两点,则下列结论正确的是( )A.若,则B.若点O到直线AB的距离为,则C.若,则的最小值为D.若,则的最大值为11已知,分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点（不在轴上）,外接圆的圆心为H,半径为R,内切圆的圆心为I,半径为r,直线PI交x轴于点M,O为坐标原点,则( )A.最大时,B.的最小值为8C.D.的取值范围为12将下列多项式因式分解,结果中含有因式的是( )A.B.C.D.三、填空题13与圆同圆心,且过点的圆的方程是_.14圆与圆的公共弦所在直线被圆:所截得的弦长为_.15如图,椭圆的左、右焦点分别为,过点作椭圆的切线,切点
4、为T,若M为x轴上的点,满足,则点M的坐标为_.四、解答题16（1）已知直线经过点且与直线垂直,求直线的方程.（2）已知直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,AB的中点为,求直线的方程.17为了开发古城旅游观光,镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥,河面跨度AB为32米,拱桥顶点C离河面8米,（1）如果以跨度AB所在直线为x轴,以AB中垂线为y轴建立如图的直角坐标系,试求出该圆形拱桥所在圆的方程;（2）现有游船船宽8米,船顶离水面7米,为保证安全,要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥,并说出理由.18已知椭圆C的焦点为和,且椭圆C经过点.（1）求椭圆C
5、的方程;（2）过点的直线l与椭圆C交于P,Q两点,则在x轴上是否存在定点N,使得的值为定值?若存在,求出点N的坐标和该定值;若不存在,请说明理由.19已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点P到点的距离的2倍.（1）求点P的轨迹方程;（2）若点P与点Q关于点对称,点,求的最大值和最小值;（3）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E,F两点,点,则是否存在直线l,使取得最大值,若存在,求出此时l的方程,若53不存在,请说明理由.20已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，将平面
6、沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直.(i)若，求异面直线和所成角的余弦值；(ii)是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.参考答案1答案：C解析：依题意可知直线的斜率为,故倾斜角为.故选:C.2答案：A解析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知:,解得,故选A.3答案：C解析：设中点为C，则，即，又直线与圆交于不同的两点A、B，故，则，.故选：C.4答案：C解析：当时,两直线分别为：,两直线斜率相等且,两条直线平行且不重合；充分性成立,若两直线平行且不重合,则,必要性成立,综上所述,是
7、两直线平行且不重合的充要条件,故选：C.5答案：D解析：因为圆关于直线对称,所以直线l过圆心,即,则因为,且,所以,所以,当且仅当即,等号成立,则的最小值是4.故选：D6答案：A解析：,所以直线恒过点,所以直线恒过点,由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直,因此点P在以为直径的圆上,线段中点为,半径为,圆C的圆心为,半径为,由已知条件可知点P在圆上,所以圆C与圆D相交或相切,因此有,解得：,所以则r的最大值是,故选：A.7答案：B解析：由,得,则,则,则,即,解得,则,因为,所以,即,整理得,则,解得或,故或.故选:B.8答案：A解析：对任意三点A、B、C,若它们共线,设、,如图,结合三角
8、形的相似可得,为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则;若B,C或A,C对调,可得;若A、B、C不共线,且三角形中C为锐角或钝角,由矩形CMNK或矩形BMNK,;则对任意的三点A、B、C,都有;故正确;设点Q是直线上一点,且,可得,由,解得,即有,当时,取得最小值;由,解得或,即有,的范围是.无最值,综上可得,P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故正确;由题意,到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为,则,若,则;若,则,故所求轨迹是正方形,则正确;定点、,动点满足,可得P不y轴上,P在线段间成立,可得,解得,由对称性可得也成立,即有两点P满足条件;若P在第一象限内,满足,即为,为射线,由
9、对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,则点P的轨迹与直线(k为常数）有且仅有2个公共点.故正确;综上可得,真命题的个数为4个,故选:A.9答案：CD解析：A:若两点的纵坐标或者横坐标相等,则不能用该方程表示直线,故错误;B:直线l过点,且在x,y轴上截距相等,除直线外,还可以是直线y=2x,故错误;C:直线与直线垂直的充要条件是,解得或;“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件,故正确;D:因为直线,平行,则两平行直线的距离,故正确.综上所述,正确的选项是CD.故选:CD.10答案：AD解析：因为,是圆上两点,当时,为正三角形,所以,A正确;点O到直线AB的距离为时,B错误;的
10、值可转化为单位圆上的A,B到直线的距离之和,又,所以为等腰三角形,设M是AB的中点,则,且,则M在以点O为圆心,半径为的圆上,A,B两点到直线的距离之和为点M到直线的距离的2倍,点O到直线的距离为,所以点M到直线的距离的最大值为,最小值为,则A,B两点到直线的距离之和最大值为,最小值为.所以的最大值为,最小值为,C错误,D正确;故选:AD11答案：BCD解析：由,得,A选项:设,则,所以当点在短轴端点时,面积最大值为,此时由内切圆性质可知,则,A选项错误;设,则,B选项:如图所示,设中点为G,则,所以,又,同理,所以,当且仅当时,等号成立,B选项正确;C选项:设PI与交于点M,由角分线定理可知
11、,即,即,所以,所以,C选项正确;D选项:设,由正弦定理得,即,由余弦定理得,则,且,即,当且仅当时取等号,所以,所以,则,D选项正确;故选:BCD.12答案：ABD解析：A.原式,符合题意;B.原式,符合题意;C.原式,不符合题意;D.原式,符合题意.故选:ABD.13答案：解析：依题意,设所求圆的方程为,由于所求圆过点,所以,解得.所以所求圆的方程为.故答案为:.14答案：解析：圆与圆的两方程作差得,即公共弦所在直线方程为,又圆的圆心为,半径,所以圆心到直线的距离,则圆被直线所截得的弦长为.故答案为:.15答案：或解析：设AT的方程等于,不妨设T在x轴上方,即.则联立与椭圆的方程,得,整理
12、得,令,解得,此时方程为,解得因此可知,由椭圆方程可知,所以,又因为,所以,（如图）过T做x轴的垂线,记垂足为N,则可知,因此,设,则,在中,由正弦定理,即,解得或故答案为:或16答案：（1）;（2）.解析：（1）直线的斜率,则,故直线的方程为;（2）设,AB的中点为,知,则直线的方程为.17答案：（1）（2）船可以通过,理由见解析解析：（1）,设圆心,圆的方程为:由圆过点B、C可得,解得,拱桥所在的圆方程是:（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为,代入圆方程左端得,所以点P在圆内,故船可以通过18答案：（1）（2）存在,定值为解析：（1）已知椭圆C的焦点为和,设椭圆C的方程为,将点代入椭圆
13、方程,得,解得（舍去）,所以椭圆C的方程为.（2）当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,设定点.联立方程组,消掉x可得,恒成立.设,可得,所以.要使上式为定值,则,解得,此时.当直线l的斜率为0时,此时,也符合.所以存在点,使得为定值.19答案：（1）（2）53;13（3）存在,或解析：（1）由已知,化简得,即,所以点P的轨迹方程为;（2）依题意,设,因为点P与点关于点对称,所以点P坐标为,因为点P在圆上运动,所以,即点Q的轨迹方程为,不妨设,其中,则当时,取得最大值;当时,取得最小值;（3）由题意知l的斜率一定存在,不妨假设存直线l的斜率为k,且,则,联立方程:,所以,又因为直线l不经过点,则,因为点到直线l的距离,所以,因为,所以当时,取得最大值2,此时,所以直线l的方程为或.20答案：（1）；（2）(i)，(ii)存在，解析：（1）因为的周长为8，离心率为，所以，即，所以椭圆C的标准方程为：；（2）由（1）知，点，倾斜角为，故直线l设为：，(i)联立直线l与椭圆的方程：，可得，可得或，可得，（因为点A在x轴上方）以及，再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则，所以记异面直线和所成角为，则；(ii)由，设折叠前，直线l与椭圆C联立方程
