九年级数学下册全册复习知识点梳理总结第一部分教材知识梳理系统复习第一单元数与式第1讲 实 数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数(1)按定义分(2)按正、负性分J正有理数有理数其 /有限小数或 正实数 负 有 理 数 无 限 循 环 小 数 实 数 0实数正 无 理 数 负实数无理数 L J 无限不循环小数负无理数(1)既不属于正数，也不属于负数.(2)无理数的几种常见形式判断：含n 的式子；构造型:如3.010010001.(每两个1之间多个0)就是一个无限不循环小数；开方开不尽的数：如，；三角函数型：如sin60,tan25.(3)失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2,=-3,它们都属于有理数.知 识 点 二：实数的相关概念2.数轴(1)三要素：原点、正方向、单位长度(2)特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是25.3.相反数(1)概念：只有符号不同的两个数(2)代数意义：a、b 互为相反数H a+b=O(3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a 的相反数为-a,特别的0 的绝对值是0.例：3 的相反数是0,-1 的相反数是1.4,绝对值(1)几何意义：数轴上表示的点到原点的距离(2)运算性质：|a|=a(a2O)；|a-b|=a-b(ab)2a(a0).b-a(ab)(3)非负性：|a|2 0,若|a|+b2=0,贝 I a=b=Q.(1)若|x|=a(a 2 0),则 x=a.(2)对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5 的绝对值是；|-2|=2;绝对值等于3 的是土5倒数(1)概念：乘积为1 的两个数互为倒数.a 的倒数为l(aWO)(2)代数意义:ab=lO a,b互为倒数例：-2 的倒数是2；倒数等于它本身的数有土1.知 识 点 三：科学记数法、近似数6.科学记数法(1)形式：a X l O1 1,其 中 l W|a|10,n为整数(2)确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去；对于小数，写成a X l(P,l W|a|0负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.(3)作差比较法：a-b OOa b；a-b=OOa=b；a-b OOa b 0 a2 b2.例：把 1,-2,0,23按从大到小的顺序排列结果为 1 0 -2 -2.3 .知 识 点 五：实数的运算9.常见运算乘 方几个相同因数的积；负数的偶(奇)次方为正(负)例：(1)计算：1-2-6=-7 :(-2)2=4 ;3 =1/3 :J i =_ 1_;(2)64 的平方根是8 .算术平方根是8 .立 方 根 是 4 .失分点警示：类 似“的算术平方根”计算 错 误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是 _，的算术平方根是2 .零次幕a0=1(aO)负指数幕a l/a11(a W O,p 为整数)平方根、算术平方根若 X 2=a (a 0)，则 X 二 土 布二其中 指 是算术平方根.立方根若 x3=a,贝【J X=A/H.1 0.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化第 2 讲整式与因式分解、知识清单梳理知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例，代数式(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的室理连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式.(2)求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值.求代数式的值常运用整体代入法计算.例：ab=3,则 3b3a=9.2整式(单项式、多 项式)(1)单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.(2)多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.(3)整式：单项式和多项式统称为整式.(4)同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：(1)下列式子：-2a2;3a-5b；x/2;2/x;7a2;7x2+8x3y；2017.其中属于单项式的是;多项式是;同类项是和.(2)多项式7m5n-llmn2+l是六次三项式,常数项是 1 .知识点二：整式的运算3整 式的 加减 运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.(2)去括号法则：若括号外是“+”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“一”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：-2(3 a-2 b l)=-6a+4b+2.4.幕 运算 法则同底数幕的乘法：am-an=am+n;(2)幕的乘方：(am)n=a ；(3)积的乘方：(的=4至；(4)同底数幕的除法：aman=amn(aO Y其中m,n都在整数(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3 X2mX 2n=6.(2)在解决幕的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m 4m=23m.5整 式的 乘除 运算(1)单项式X 单项式：系数和同底数幕分别相乘；只有一个字母的照抄.(2)单项式x 多项式：m (a+b)=m a+m b.(3)多项式 x 多项式：(m+n)(a+b)=m a+m b+n a+n b.(4)单项式+单项式：将系数、同底数幕分别相除.(5)多项式+单项式：多项式的每一项除以单项式；商相加.失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2 a-D(b+2)=2 a b+4 a-b-2.(6)乘法公式平方差公式：(a-b)(ab)=注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式：(a b)2=a2 2 ah-b2.变形公式：a2+b2=(a b)2+2 a b,a b=(a+b)2-(a2+b2)/26.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算.例：(a-1)2-(a+3)(a-3)-1 0=-2 a .知识点五：因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.(2)常用方法：提公因式法：ma-mb-mc=公式法：a2b2=(a-b)(gb)；c?2 ab+Z?2=(a b)2.(3)一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；检查各因式能否继续分解.(1)因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成塞的形式；(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算.第 3 讲 分 式二、知识清单梳理知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念A(1)分式：形 如 一(A,B是整式，且B中含有字 母,3邦)B的式子.(2)最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：(1)判断化简之间的式子；(2)是常数，不是字母.例：下列分式：;；;至+2,其中是分x2-l式是;最简分式.2.分 式 的意义A(1)无意义的条件：当5=0时,分 式 一 无 意 义；(2)有意义的条件：当2W0时,分 式 名 有 意 义；B A(3)值为零的条件：当A三0,5关。
时，分 式 万=0.失分点警示：在解决分式的值为0,求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母 不 为0.例：当 的 值 为0时，贝U x=-1.X-1 3.基 本 性质田一皿 l A A -C A H-C(1 )基本性质：一=-(C O).B B C B+C(2)由基本性质可推理出变号法则为：A _ -A _ -(-A)A _ _ A _ AB -B B，B B -B 由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：/2-1.x+2 x+l x+1知 识 点 三：分式的运算4.分 式 的约 分 和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，Hna m a即 一=一；b m b(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即，二 n/，仪b a be分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分 式 十 和,I、的最简公分母x+x x x-l)为#2 _ 1).5分 式 的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即=等；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即施:噜2例：+=-1.x-1 1-x 1 1 2 a-1-=-6.分 式 的乘除法 乘 法：翡=既 除 法：告十*(3)乘 方:=4(为正整数).+1 a 1 a 1 a b 2 1例：-=；-=2 y；2 b a 2 x xyEm.7.分 式 的混合运算l)b(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的.2A 7 8 x失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式,再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.第4讲二次根式知识清单梳理知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念（1）二次根式的概念：形 如 也m z o）的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或 等 于0.（3）最 简 二 次 根 式：被开方数的因数是整数，因式是整式（分 母 中 不 含 根 号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0,被开方数大于等于0等.例：若代数式 L2.二 次 根 式的性质（1）双重非负性：被开方数是非负数，即 壮0;二次根式的值是非负数，即&N 0.注 意：初 中 阶段学过的非负数有：绝 对 值、偶 暴、算式平方 根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负:当多个非负数的和为。
时，可得各个非负数均为0.如y/a+1 +J b-1=0,贝U a=，b=l，（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这 一 对 相 反 数 的 数 均 为0.如 已 知b=J a-1 +/l-a，贝u a=l,b=O.（2）两个重要性质：（3）2 =兔（介0）；=；-aya 0,厄0）；（4）商的算术平方根：、口 （介0,b Q）.例：计算：,3.1 4 2 =3 1 4;(-2)2 =2；V =；=2 ；1 9 一百一 3知 识 点 二：二次根式的运算3二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式.例：计算：V 2-V 8+V 3 2 =3 5/2;4二次根式的乘除法(1)乘 法：&4 b =y ab(壮0,/?0)；(2)除法：专=、g (壮0,6 0).注 意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：，区 洛=1；返=佟=生二次根式的混合运算 jb V b运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有 括 号 的 先 算 括 号 里 面 的（或先去括号）.N2 V 3 0 V 2运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计 算：（&+1）（近-1）=L第二单元方程（组）与不等式（组）第5讲 一次方程(组)四、知识清单梳理知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性 质 1:等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍 是 等 式.即 若 贝!la 土 c=6丝.(2)性质2：等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.即若a=6,则 改=近，-=-(=9则皆丫的值为X.y=4.x-2y=3方法：(1)代入消元法:从一。