专题10二次函数与圆存在性问题方法揭秘,二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、夕 卜 心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.典例剖析.例 1 (2 0 2 2 闵行区二模)如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=ax2+bx+4与 x轴相交于点A(-1,0),B (3,0),与y轴交于点C 将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x 轴于点交线段8c于点瓦 交抛物线于点孔 过点歹作直线8的垂线，垂足为点G.(1 )求抛物线的表达式；(2)以点G为圆心，8G为半径画OG；以点为圆心，所为半径画。
区当OG与 内 切 时.试证明E F与EB的数量关系；【分 析】（1）根据点4 8 的坐标，设 抛 物 线 产x+l）（x-3）,再将点C 代人即可求出的值，从而得出答案；（2）分两种情形，当 r0Gr0E 时，贝!I G8-访二 G E,贝 lM=E 8,当 roGr0E 时，贝！J M -G8=G E,设 斯=5f,F G =3 t,G E =4t,贝 i5f-G 8=4 7,贝 lj G8=/GE=4/,从而得出矛盾；由tan/0Bc5W.设 B D =则 DE=4t，利用勾股定理得班=区，则尸坐标为（3,B D 0 B 3 3 33%）,代入抛物线解析式，从而解决问题.【解 答】解：（1）二.点4 坐标为（1,0）,点 5 坐标为（3,0）.设抛物线y=a（x+1）（x-3）（a O）,抛物线经过点0,4）,4=-3a.解 得a=4.3抛物线的表达式是y=-1 x 2得x+4；（2）由于OG与内 切，当 r0G r QE 时，贝 U E F -G B =G E,设 E F=5 t,F G =3 t,G E =4t,贝 I5f-G 8=4f,.G B =t rc）E时，则 G B-E/uG E,又,：G E=G B -E B,：.E F =E B-,-.O C A.O B,F D L O B,zL C O B=A E D B =90 ./c*E D 0 C 4.t a n/O B C而而存.；.设 B D =t,则 D E=4 t；3在中，由勾股定理得,BE=VDE2+DB2=t2+（y t）2=|-t-4 5DF=DE+EF-ytz-t=3to O 尸坐标为（3-1,3f）,F点在抛物线y=x 2卷 x+4上，3 t=-y （3-t）2+|-（3-t）+4.一.解得f=o（点尸与点8重合，舍去）.4 尸坐标为（2 2 L）.4 4【例 2】（2022福建模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴相交于/,3 两点，点 C（2,-4）在抛物线上，且N2C是等腰直角三角形.（1 ）求抛物线的解析式；（2）过点。
2,0）的直线与抛物线交于点M,N,试问：以 线 段 为 直 径 的 圆 是 否 过 定 点？证明你【分 析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出/、B 两点坐标，把点/、B、C 代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式.（2）通过设过点2,0）的直线AW解析式为了=左（x-2）=k x-2 k,得到关于x、关于y 的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y 的值，确定定点的坐标.【解答】解：连接/C、B C,过 点作 CP垂直于x 轴于点P.在 中，AC=BC,CP L A B,点 C（2,-4）,；.CP=AP=PB=4,OP=2,：.OA=AP-OP=4-2=2,OB=OP+PB=4+2=6,.点 N (-2,0),点 8(6,0),把点4 (-2,0),点 5 (6,0),点 C(2,-4)代入函数解析式得0=4 a_2 b+c 0).(1 )如 图 1,抛物线与直线I相交于点M(-1,0),N d 6).求抛物线的解析式；过点N作N的垂线，交抛物线于点尸，求 PN的长；(2)如图2,已知抛物线y=-2/+6 x+c 与 x 轴交于/、2两点，与了轴交于点。
点 4 B,C,D(0,n)四点在同一圆上，求 的值.分 析 (1)把点M(-1,0),Nd 6)代入到y=-l+bx+c中，可得6 和 c 的值.设P(a,-2a2+4a+6),再利用M(-1,0),N(2,6),得 到 MV、PM、PN 的表达式，最后利用勾股定理求得的值.(2)令 C(0,c),当y=0 时，代 人 抛 物 线 得 根 据 两 角 对 应 相 等，可得/台，然后再找到对应线段成比例，即得至U 的值.【解答】解：(1)把-1,0)N(2,6)代入y=-2x2+bx+c,得 j-2-b+c=01-8+2 b+c=6解 得(b=4,l c=6.,抛物线的解析式为=-2X2+4X+6；由，抛物线解析式为：_y=-2X2+4X+6,设 P(a,-2a2+4a+6)；M(-1,0),N(2,6),*=4(2+1)2+6 2 =3 心.t.PM=yJ(-i-a)2+(2 a2-4 a-b)，P N=q(2-a)?+(2 a?-4 a)，又Y P N L M N,贝！J尸么尸二 +尸必，(-l-a)2+(2a2-4a-b)2=(3)2+(2-t z)2+(2a2-4 a)2.整理得：4a2-9a+2=0,(a-2)(4 a-l)=0.ai =2,a2=,4当。
2时，尸与N重合，4 8(2 )证明：设4 =-XA,OB=XB,OD=-n当y=0 时，-2 f+b x+c =0,-XAXB=-,2OAOB=-XAXB=.2ACAO=ABDO,AACO=ADBOXAOC ADOB.0A=0C,OD OBOA-OB=OC-OD2 c W O n=-2【例 4】(2 0 2 2 上海模拟)在平面直角坐标系xO y中，抛物线y=ax2-3 ax+2 (a 0 )交 y 轴于点A,抛物线的对称轴交x 轴于点P,联结尸4(1 )求线段P/的长；(2 )如果抛物线的顶点到直线P A 的距离为3,求的值；(3 )以点P为圆心、PA为半径的0P交了轴的负半轴于点B,第一象限内的点尸上，且劣弧窟=2 部 如果抛物线经过点0,求的值.【分 析】(1 )分别求出P (&，0 ),/(0,2 ),由两点间距离公式可求；2(2)抛物线的顶点为 3,2-9)，由 =可得2 4 2 2 3(3)连接尸BP,A M,设f,at1-3at+2),求出M(-1,0),由 垂 径 定 理 可 得 力 而=4 1?+(a t?-3 a t)2,PQ=A P,得J (t )?+(a t?-3 a t+2)，联立可得 a=*.解答 解：(I )y=ax2-3ax+2=a(x-)2+2 -a,2 4.,抛物线的对称轴为X =旦，2.P(-,0),2令x=0,贝!|y=2,A(0,2),:.PA=-,2(2 )由(1 )可知抛物线的顶点为/(旦，2 -9。
),2 4.-.2 -0,4SAAPM=x PM x尸=工 x/尸 x 3,2 2(2 -匕)x 3=$x 3,4 2 2解得3(3 )连接尸0,BP,AM,一:MP LAB,A M=B M,A B=2 A Q,A M=A Q,.t.AM=AQ,设 Q (E,at2-3at+2),：AP=-,P(3,0),2 2-1,0),辰=V t2+(a t2-3 a t)2，-：PQ=AP,)2+(a t?-3 a t+2)2,联立可得片 旦 或f =-1 (舍),5满分训练.1.(2021广元)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/+加叶与 x 轴分别相交于4、3 两点，与y 轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：X-10123y03430(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)P是抛物线对称轴上长为1 的一条动线段(点P在点上方)，求A Q+Q P+P C的最小值；(3)如图2,点是第四象限内抛物线上一动点，过点作x 轴，垂足为尸，/8 D 的外接圆与厂相交于点.试问：线段跖的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.图1图2【分 析】(1 )运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；(2)如 图 1,将 点。
沿 轴向下平移1 个单位得C(0,2),连接2 c 交抛物线对称轴x=l 于点过 点 C作 C P /B C,交对称轴于点P,连 接/此时，C、2三点共线，B Q+C Q的值最小，运用勾股定理即可求出答案；(3 )如图 2,连接8 E,设工-P+2 f+3 ),且 f 3,可得尸=P -2t-3,B F=t-3,AF=t+l,运用圆内接四边形的性质可得乙/月=48跖，进而证明利 用 空=更，即可求得答案.BF DF【解答】解：(1 )根据表格可得出力(-1,0),B(3,0),C (0,3),设抛物线解析式为y (x+l)(x-3),将 C(0,3)代入得：3 =0+1 )(0 -3),解得：1,-y=-(x+1 )(x-3)=-X2+2X+3=-(x -1 )2+4,二 该抛物线解析式为y=-X2+2X+3,顶点坐标为“(1,4)；(2 )如 图 1,将 点 C沿y轴向下平移1 个单位得0,2),连 接 交 抛 物 线 对 称 轴 x=l 于点0,过 点 C作 C P /B C ,交对称轴于点P,连接N0,/、8关于直线x=l 对称，-AQ=BQ ,：C P /B C ,P Q/C C ,，四边形CC Q P是平行四边形，CP=C Q,Q P=CC=1,在 RtA5OC 中，8C=J o e，24 cB2=22+32=瓜，：.AQ+Q P+P C=BQ+C Q+Q P=BC+Q P=V13+1,此时，C、。
5三点共线，BQ+C的值最小，：.AQ+QP+PC 的最小值为;(3)线段E尸的长为定值1.如图2,连接2E,设e+2什3),且 f3,F_Lx 轴，:.DF=-(-?+2/+3)=？-2/-3,0),：.BF=OF-OB=t-3,AF=t-(-1 )=t+,四边形ABED是圆内接四边形，ADAF+ABED=1SO0,-ABEF+ABED=S0,乙DAF=乙BEF,AAFD=AEFB=90,AAFDEFB,.E F =A F,B F D F.E F _ t+15 3 t2-2 t-3，.EF=(t+i)(t-3)=tn=t2-2 t-3 t2-2 t-3.线段时的长为定值1.图12.(2021张家界)如图，已知二次函数y=2+6x+c的图象经过点C(2,-3),且与x 轴交于原点及点3(8,0).(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线A B的表达式；(3)判断/5 O 的形状，试说明理由；(4)若点尸为上的动点，且的半径为2&,一动点E 从 点/出 发，以每秒2 个单位长度的速度沿线段N 尸匀速运动到点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线段尸8 匀速运动到点8 后停止运动，求点E的运动时间t的最小值.【分 析】(1)运用待定系数法即可求出答案；(2)运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线的函数表达式；(3)方 法 1：如 图 1,过点/作于点则尸(4,0),得 出 必 均 为 等 腰 直 角 三 角形，即可得出答案，方法2：由NB。
的三个顶点分别是0,0),A(4,-4),5(8,0),运用勾股。