基础课4 8抛物线从近几年高考的情况来看，抛物线一直是高考命题的热点，选择考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养抛物线的定义和标准方程了解2023年天津卷T122019年全国H卷(理)T8 逻辑推理数学运算抛物线的几何性质了解2023年新高考H 卷 T102023年全国乙卷(理)T132023年全国乙卷(文)T13 逻辑推理数学运算直观想象题、填空题的复习要关注抛物线的定义、焦点弦的性质在解题中命题分析预测的应用;解答题的复习要关注设而不求以及根与系数的关系在解题中的应用.另外本基础课内容易设置多选题，所以在备考中，要注意多选题的训练，做到全面高效的复习【基础知识诊断】i/H夯实基础一、抛物线的定义1.定义：平面内与一个定点F 和一条定直线1(1不经过点F)的距离 相等 的点的轨迹.2.焦点：点 F叫作抛物线的焦点.3.准线：直线1叫作抛物线的准线.【提醒】定义中易忽视“1不经过点F”这一条件，当 1经过点F 时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.二、抛物线的标准方程和几何性质y2=_标准方程 y2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)2px(p0)图形知识,一拓展顶点0(4)(0,0)对称轴_ X轴_y轴隹八 、占八、F督，)F得)F(0,F(。
与离心率e=_1 _准线方程X=-zv-py 2y=2范围x 0,yRx 0,xRy 0)的焦点F的弦，则1.以|A B|为直径的圆M与准线相切；2.以|A F|为直径的圆C与y轴相切；3.以|B F|为直径的圆D与y轴相切；4.圆C与圆D外切，圆C与圆D均与圆M内切.一AM-诊 断 自 制 心 题组走出误区L判一判.(对的打 7”,错的打“x”)平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.方程y=a x 2(a邦)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(；，0),准线方程是x=?()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)A B 是过抛物线 y 2=2 p x(p 0)的焦点 F6，0)的弦，若 A(x i,y i),B(x2,yi),则 x i X2=(，y i y 2=-p 2,弦长|A B|=x i+x 2+p.()答 案(l)x (2)x (3)x (4)72 .(易错题)已知P为抛物线x2=1 2 y上的一个动点，Q为圆(x-4 +y 2=l上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴 的 距 离 之 和 的 最 小 值 为.【易错点】本题在将点P到x轴的距离转化为点P到抛物线焦点的距离时容易出现错误.答 案1解析 设抛物线的焦点坐标为F(0,3),圆心坐标为S(4,0),点P在准线上的射影为R,贝 P Q 闫 P S H Q S|=|P S|-1,因为|P R|=|P F|,所以|P Q|+|P R囹P S|+|P F卜 1,因为|P S|+|P F闫F S|=J(0 _ 4,+3 2=5,所以|P Q|+|P R R 5-1=4,当且仅当 F,P,Q,S共线且依序排列时取等号，所以点P到点Q的距离与点P到x轴的距离之和的最小值为4-3=1.题组走进教材3 .(多选题)(人教A版选修P 1 3 5思考改编)过点M(2,-2 a)的抛物线的标准方程为().A.y2=4 x B.x2=-4 y C.x2=-V 2 y D.y2=-V 2 x答 案A C解析 当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y 2=2 p x(p 0),则8=4 p,解得p=2,所以抛物线的方程为y 2=4 x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x 2=-2 p y(p 0),将点M(2,-2 V 2)代入，得4=4 V S p,解得p=#,所以抛物线的方程为x 2=-V 2 y.故选A C.4.(苏教版选修P104.T5改编)若抛物线y=4x2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的 纵 坐 标 是.答 案 j|解析 设点M 的纵坐标为yM,抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,需)，则YM+1=1，1 _15yM-i市一田所以点M 的纵坐标为，题组走向高考5.(2023北京卷)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,点M 在 C 上.若M 到直线x=-3 的距离为5,则|M F|=().A.7B.6 C.5 D.4答 案 D解析 因为抛物线C：y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M 在 C 上，所以M 到准线x=-2的距离为|MF|,又M 到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.【考点聚焦突破】考片一抛物线的定义及应用1 .若动点M(x,y)满足方程5J(x_i，+(y_2)2=|3x+4y+12,则点M 的 轨 迹 是().A.圆 B.椭 圆 C.双曲线 D.抛物线答 案 D解 析 由 5扃+一彳邛x+4y+12|得 扃，+(y-2:4 学与等式左边表示点(x,y)和点(1,2)之间的距离，等式的右边表示点(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离，整个等式表示的意义是点(x,y)到点(1,2)的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等，且点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为抛物线.故选D.2.(2023全国乙卷)已知A(l,V5)在抛物线C：y?=2px上，则点A 到抛物线C 的准线的距离为答 案I解 析 因 为 点A在抛物线上，所以（归2=2pl解得2P=5,则抛物线方程为y2=5x,其准线方程为x=,则点A到抛物线C的准线的距离为3.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（3,2）,则|PB|+|PF|的最小值为.答 案4解 析 如图，过点B作BQ垂直于准线，交准线于点Q,交抛物线于点P i,连 接P iF,则|PiQ|=|PiF|.又 F（l,0）,所以|PB|+|PF以PiB|+RQ|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.。
方法总结口 口 口抛物线定义应用的三种类型及解题策略轨 迹 用 抛 物 线 的 定 义 可 以 确 定 与 定 点、定直线的距离有关的动点轨迹是否问 题 为 抛 物 线距离灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转问 题 化将抛物线上的点到焦点（准线）的距离转化为该点到准线（焦点）的距离，最值构造出“两点之间线段最短”或利用“与直线上所有点的连线中，垂线段问题最短”求解问题【注意】利用定义时一定要验证“定点”是否在“定直线”上Q考 广 二 抛物线的标准方程典例1求分别满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)顶点在原点，准线方程为y=4；(2)顶点在原点，且过点(-3,2)；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3 x-4 y-1 2=0上；(4)顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5.解 析(1)由顶点在原点，准线方程为y=4,可知抛物线的焦点在y轴负半轴上,设抛物线的标准方程为x 2=-2 p y(p 0),且畀4今p=8,故抛物线的标准方程为x 2=-1 6 y.(2)由顶点在原点，且过点(-3,2),则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线的标准方程为x 2=2 py(p 0)或y 2=-2 p*(p5 0),分别将(-3,2)代入，求得Pg P=|，故抛物线的标准方程为x 2=|y或y 2=g x.(3)由于直线3 x-4 y-12=0与x轴的交点为(4,0),由题意可知抛物线焦点为(4,0),设抛物线的标准方程为y 2=2 px(p 0),则白4 0p=8,故抛物线的标准方程为y2=16 x.(4)设抛物线方程为y 2=2 px(p 0),焦 点 为 偿0),准线方程为x=g,由题意知，抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5,得3-=5 n p=4,故抛物线的标准方程为y 2=8 x.。
方法总结口 口 口求抛物线标准方程的两种方法定义法待定系数法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置求出抛物线方程若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2=ax(a/),a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x 2=ay(a#),这样减少了不必要的讨论C C C针对训练1.(2 02 4新疆模拟)若抛物线y 2=2 px(p 0)的焦点也是双曲线x2-y2=p的一个焦点,则此抛物线的方程为().A.y2=32x B.y2=16xC.y2=8x D.y2=4x答 案 B解析 抛物线y2=2px(p0)的焦点为6，0),双曲线x2-y2=p可化简为2*1,其焦点坐标为(土历，0),由题意可得如四，即诉=2q，解得p=8,则此抛物线的方程为y2=16x.故选B.2.(2024浙江模拟)写出一个既与直线x+l=0相切，又和圆x2+y2-4x+3=0外切的圆的圆心坐标：.答 案(2,4)(答案不唯一，只要圆心坐标(a,b)满足b2=8a即可)解析设圆心坐标为(a,b),将圆x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=l,其圆心为(2,0),半径为 1,由题意得，a+l=J(a_2)2+b2-l,即 a-(-2)=J(a_2,+b2,故圆心(a,b)到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等，所以圆心的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，故b2=8a,圆心坐标满足该式即可.考V 三抛物线的简单几何性质典 例21(1)(多选题)(2023新高考n 卷)设O 为坐标原点，直线y=W(x-l)过抛物线C：y2=2px(p0)的焦点，且与C 交于M,N 两点，1为C 的准线，则().A.p=2B.|MN|=|C.以MN为直径的圆与1相切D.A OMN为等腰三角形(2)(多选题)(2022.新高考I 卷)已知O 为坐标原点，点 A(l,1)在抛物线C：x2=2py(p0),过点B(0,-1)的直线交C 于P,Q 两 点,则().A.C的准线方程为y=-l B.直线AB与 C 相切C.|OP|OQ|OA|2 D.|BP|BQ|BA|2答 案(1)AC(2)BCD解析 对于A,在 y=-6(x-l)中令y=0,得 x=l,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A 正确;对于B,由A 知，抛物线的方程为y2=4x,则由，2匚 f(x-DZ 1 _得 二 张 或 能 12遍不妨设M&竽)，N(3,一 2扬,则由抛物线的定义，得|MN|=XM+XN+P=竽，故B 不正确；对于C,由B 可知，以MN为直径的圆的圆心为点仅，-竿)，半径为|,又抛物线的准线1的方程为x=g=-l,圆心到准线1的距离为|-(-1)吟 所以以MN为直径的圆与1相切，故 C 正确；对于D,因为|ON|=32+(2例 2=VITWMN,所以由抛物线的对称性知 OMN不是等腰三角形，故 D 不正确.故选AC.(2)：点 A(l,1)在抛物线 C：x2=2py 上，.-.l=2p,准线方程为y=J A 不正确.1-2P得直线AB的方程为y=2x-L 由R 二i 得 x2-2x+l=0,VA=(-2)2-4xl=0,I.直线AB与抛物线C 相切，B 正确.设直线 PQ 的方程为丫=叁-1,P(xi,yi),Q(X2,y2).由 二：，1 x2-kx+1=0,/.A=k2-40,得|k|2,(y=kx 1,.X1+X2=k，X1X2=1.V|0P|-|0Q|-k+y2.+4122X42X-4X24X1+4X22X1+2X24X1+2X22X1-+X+4+(xj+x2)2,2x1x2=j2+k2_2=|k|2.又.|OA|2=1+1=2,.-.|OP|.|OQ|OA|2,C 正确.|BA|2=1+(1+1)2=5,|BP|.|BQ|=Jx彳 +1)2.Jx,+02+1)2=Jx彳 +(X 彳 +1)2 旧+6 +1)2=Jx；+3x+1 Jx,+3x5+1 =Jxf+X 2+6xf+6x5+11=J(X 彳 +x5 2+6(x；+x 务+9=Lxf+3?。