绝 密*启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2 B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 A=1,2,3,4,5,9,B=xx+1 C 4,则 I C l B=()(A)1,2,3,4(B)1,2,3,4(C)1,2,3,4(D)1,2,3,4)【参考答案】A【详细解析】因为 A=口,2,3,4,5,9,B=xx+1&A=0,1,2,3,4,8,所以 4 n B=1,2,3,4,故选(A).2.设 Z=用,则 Z 5=()(A)2(B)2(C)2(D)2【参考答案】D【详细解析】因为z=i,所以z =2,故选(D).3.若实数3 满足约束条件(略),贝【J z=%-5 y 的最小值为()(A)5(B)|(C)-2)4【参考答案】D11【详细解析】将约束条件两两联立可得3 个交点：(0,.1)、(|,1)和(3,技经检验都符合约7束条件.代入目标函数可得:Zmin=-2,故选(D).4.等差数列 aj的前几项和为Sn,若 S9=l,a3+=()(A)-2(B)|(C)l2(D)g【参考答案】D12【详细解析】令 d=0,则 S9=9an=l,an=g,cz3+a7=g,故选(D).5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()(A*(B)f(C)|(D)|【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有2 4 种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾8 1的共有8 种可能,P=方=,故选(B).P v26.已知双曲线C：7-3=l(a 0 力 0)的左、右焦点分别为FI(0,4)、/2(。
4),且经过点 P(-6,4),则双曲线C 的离心率是()(A)y(B)y(C)2(D)3【参考答案】C加同【详细解析】e=丁=2,故选(C).7.曲线/)=式+3x在(0,_ 1)处的切线与坐标轴围成的面积为(A)1(C)!【参考答案】A【详细解析】因为y =6%5 +3,所 以/c =3,y =3%-1,5 =2 x g x 1 =g,故选(A).8.函数/(x)=.x2+(9-e-x)s i n x 的大致图像为()【参考答案】B【详细解析】选(B).9 已知,c o scos a 兀、a-S i n a =13 贝 U t a n (a +J=()(A)3(B)2 /3 .1(C)-3(D)【参考答案】B【详细解析】因为c s：i n a =避，所以t a n a =1 -9,t a n (a +=詈 直=2 道-1,故选(B).1 0 .直线过圆心直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心、，直径.1 1 .已知已知小、九是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面:(1)若 m _ L a,n J,a,则 m九；(2)若 a C =则打0；(3)若m/a,n/a,m与n可能异面,也可能相交,也可能平行;(4)若 a C夕=m,n 与 a和 3所成的角相等,则小，九，以上命题是真命题的是()(A X 1)(C)(2)(3)(D)【参考答案】A【详细解析】选(A).7 T o 91 2 .在A A B C中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若 B =多 尻=/c,则 s i n 4 +s i n C =()(A)P 答(C)f(D)文【参考答案】C7 T 9 4 1【详细解析】因为B=yb2=-ac,所 以 s i n 羊 s i n C =因2 B =不由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=ac,g l:a2+c2=7 a c,s i n?A+s i n2 C=彳s i n 力s i n C =适，所 以(s i n A+s i n C)2=s i n2 A+s i n2 C+2 s i n A s i n C=1,s i n A+sinC=,故选(C).二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共2 0分.1 3.略1 4 .函数f。
)=s i n x -乖 cos x在 0,T T上的最大值是【参考答案】2【详细解析】/(%)=s i n x -A/3C O S X=2 sin(x-g)42,当且仅当x=时取等号.-1 1 51 5.已知a 1，4-商=-2,则a=【参考答案】64113 15【详细解析】因 为 隔1蕨)=-2 1唯分 所 以Q o g 2 a+l)Q o g 2 a-6)=0,而a 1,故 log2 c t 6,a=64.1 6.曲线y=/-3%与y=-(x-1尸+a在(0,+oo)上有两个不同的交点，则a的取值范围为.【参考答案】(一2,1)【详细解析】令久-3 x=,(x-I)2+a,则 a=%3-3%+(%-I)2,设(p(x)=%3-3%+(%-l)2,0(x)=(3 x+5)(x-l)，w(x)在(1,+8)上递增,在(0,1)上递减.因为曲线 y=炉-3%与y=-(x-I/+a在(0,+8)上有两个不同的交点,3(0)=l,p(l)=_ 2,所 以a的取值范围为(.2,1).三、解答题：共7分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题 第2 1题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.1 7.(1 2分)已知等比数列 即 的前n项和为Sn,且2Sn=3 an+1-3.(1)求%J的通项公式；(2)求数列 S j的通项公式.【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为2Sn=3即+1-3,所 以2 Sn+1 =3 an+2 -3,两式相减可得:2 an +=3斯+2 -3 aH+i,即：3 aH+2 =5an+i,所以等比数歹l j an的公比q=|,又因为2SX=3 a2/5n-1-3 =5 a L 3,所以=l,an=团；3 3 /5n(2)因为 2Sn=3 a九 +1 -3,所以 5九=,(。
九 +i-1)2 同 一 1 .1 8.（1 2分）题干略.【详细解析】（1）/=叫7 6.63 5,没 有9 9%的把握；（2）万p+L65旧票,故有优化提升.1 9.（1 2 分）如图,已知 AB/CD,CD/EF,AB=D E =EF=CF=2,CD=4,AD=BC=叵,AE=2小 为C D的中点.证明：EM 平 面BCF;（2）求点M到A D E的距离.D【参考答案】见解析【详细解析】由题意：EF/CM.EF=CM,而C F平面A D O.E M 平面ADO,所 以EM 平面BCF;（2）取D M的中点0,连 结片贝1J 0A 1 DM,OE 1 DM.OA=3,0E=避，而Z E =2 8，故OA 1 OE,S 40E =?-.因为 D E =2,AD=迎,所 以 A D 1 DE,S A A 0 E=V1 0.DM 设点 M到、1 1 4A/3 2A/30,平面 A DE 的距离为 h,所以 VM-ADE=3 ADE%=A AOE DM,h=5一,故点 M 到2A/30力D E的距离为事.2 0.（1 2 分）已知函数/（%）=a（x-1）-lnx+1.求/（%）的单调区间；口（2）若a 1时,f Q）0.x若 a O,/(x)0 时，当 0%：时,/(x)J时,f (%)0,所以/(%)的减区间为(oj,增区间为G+00);(2)因为 a42,所以当%1 时,e*T -/(%)=ex-1-a(%-1)+I n%-l ex-1-2 x+I n%+1,令 g(%)=e%-1 -2%+I n%+1,贝 l j g(%)=ex1-2+./t(x)=g(%),则 h(%)=e*T-7 在 Q,+8)上递增,h(x)h Q)=0,所以 h(x)=g(x)在(1,+oo)上递增,g(x)g l)=0,故 g(x)在(1,+8)上递增,g(x)g(l)=0,即：当 x 1 时,f(x)b 0)的右焦点为F,点 M(l,2 在椭圆C 上，且 M F 1工轴.(1)求楠圆C的方程；(2)P(4,0),过P的直线与椭圆C交于A.B两点,N 为 F P的中点,直线N B与M F交于Q,证明:A Q”轴.【参考答案】见解析3【详细解析】设椭圆c的左焦点为F 1,则|F 1 F|=2,|MF|=2.因为M F 1无轴,所以MFr5%2 y2=5 2 a=MFr +MF=4,解得:a2=4,b2=a2-1 =3,故椭圆 C 的方程为：了+可=1;(2)解法 1：设 48,yi),5(X2,歹 2),A P=X P Bf 则Xl+2X2 A=41 4Ayi+Aj2_n-u1+AZX2=4+4A-x,.又由Ay2=-yi即松,3力%i+4+yl成=1 2 必,/可得%i+Xx邙2%i-A.%2+yi+Ay?yFi-肛T2=1 2,结合上式可得:54-2AX2+3 =0.P(4,0),F(l,0),/V(|,0),则 yQ=5 A_ X2=-4及=71,故 AQ_ Ly轴.解法 2：设 (X”yi),B(xi，y2),则 =,即：xy2 x?yi=4(y2-J i)，所以(xm-X L 4 X24叩1)(%/2 +x2yi)=妊%-%271=(4+引 用 _(4+引 必=4(y2 _ yi)(、2+71)=4(72 -71)(1 72 +即：X/2 +型月=，2 +1,2 X2%=5月-3 y2-P(4,0),尸(1,O),N(|,O),则、。
5乃-2 ym=月，故 4Q 轴(二)选考题：共 1O分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答，并 用 2 B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程(1 0分)在平面直角坐标系无y 中，以坐标原点为极点,%轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=pcos 9+1.写 出 C 的直角坐标方程；(2)直 线 y=+a(t为参数)与曲线C 交于4 B两点,若M B|=2,求 a 的值.【参考答案】见解析【详细解析】因 为P=pcos 9+1,所以P2=(pcos e+I)2,故C的直角坐标方程为：比 2+y2=(%+1)2,gp：y2=2%+1;(2)将 y a 代 入 产=2 x+1 可得:产+2(a-l)t+a2-1 =O,AB=t1-t2 =._ _ _ _ _ _ _ _ 31 6(1 _ a)=2,解得:a=4，选修4-5：不等式选讲(1 0分)实数a,b满足a+b 3.证明：2 a2 +2b2 a+b;(2)证明：|a-2 b2|+|b-2 a2|6.【解析】因 为a+&3,所 以 2 G 2 +2 b2 (a+b)2 a +b;(2)a-2b2 +b-2 a2|a-2b2+b-2 a21=|2 a2+2b2-(a+&)|=2 a2+2b2-(a+&)(a+b)2 -(a+b)=(a+b)(a+b-1)6.。