主题一数与式k_ 二次根式目录一览知识目标（新课程标版提炼）中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）A考向一二次根式有意义的条件A考向二二次根式的性质与化简A考向三二次根式的乘除法A考向四分母有理化A考向五同类二次根式A考向六二次根式的加减法A考向七二次根式的混合运算A考向八二次根式的化简求值A考向九二次根式的应用最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）X a -1.了解二次根式、最简二次根式的概念；2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算;3.能用有理数估计一个无理数的大致范围.一中考解密二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右预计2024年各地中考还将继续重视对二次根式的有关概念、二次根式的性质和二次根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握.也7考点回归二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如4 (a 0)的式子叫做二次根式.“、L”称为二次根号a (a 0)是一个非负数；二次掇学4 a鼓开方数二次根式有意判断二次根式有意义的条件：义的条件(1)二次根式的概念.形如(a0)的式子叫做二次根式.(2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.(3)二次根式具有非负性.4(a 0)是一个非负数.二次根式的基a 0 (双重非负性)-本性质2.(6)2=。
a 0)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式).a (a 0)3.4/=间=0 (a=0)(算术平方根的意义)-a (a 0)奈 (a 0,b 0)2.化简二次根式的步骤：(1)把被开方数分解因式；(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2 .最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.2.最简二次根式的条件（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.如不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a （a“）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、/、（x+y）2、+xy+寺,二次根式的乘除法1.积的算术平方根性质：V a;b =Va-Vb（a 0，b 0）2.二次根式的乘法法则：V a,V b =Vab（a 0,b 0）3.商的算术平方根的性质：樵=亲（a 0,b 0）4.二次根式的除法法则：a=巧（a 0,b 0）规律方法总结：在使用性质4五=五 元（a 0,b 0）时一定要注意它0，至0的条件限制，如果a 0,b 0,解得：a4,故。
的值可以是6.故选：D.【真题剖析】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键.2.（2023济宁）若 代 数 式 乌 有 意 义，则实数x 的取值范围是（）x-2A.灯2 B.x0 C.x2 D.xNO 且 x先【思路点拨】根据分式的分母不能为0 和二次根式的被开平方数大于等于0 进行求解.【规范解答】解：由题意得近0 且 X-2#）,解得xK）且行故选：D.【真题剖析】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识.3.（2023丹东）若代数式运之在实数范围内有意义，则实数u 的取值范围是 无 2,且 话 I.X-1【思路点拨】要使代数式有意义，则根式里面需要大于等于0,且分母不能为0.【规范解答】解：由题可知，x+20?B P x-2,又知分母不能等于0,即X-1和,则 印.故答案为：x-2,且*:1.【真题剖析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.A考向二二次根式的性质与化简解 题 技f引 嵬 错 易 混7在 则 提 醒（1）把被开方数分解因式（或因数）；（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式（质 2=a（aN0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。
4.（2023泰州）计算（-2）2 等 于（）A.2 B.2 C.4 D.V2【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案.【规范解答】解：7（-2）2=2-故选：B.【真题剖析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.5.（2023台湾）化简J 诬 的 结 果为下列何者（）A.375 B.2775 C.3715 D.9/75【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简得出答案.【规范解答】解：V135=7 9 X 1 5故选：C.【真题剖析】此题主要考查了算术平方根，正确化简二次根式是解题关键.6.（2023内蒙古）实数机在数轴上对应点的位置如图所示，化简：7（m-2）2=2-w-m1 1 1；1 A-10 12【思路点拨】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可.【规范解答】解：由数轴可知：1 加 2,:m-2 0,b0 B.tz0,b0 C.a0f b0,b0【思路点拨】根据二次根式的乘法法则，即可解答.【规范解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有4 加=/君.该运算法则成立的条件是a0,b0,故选：D.【真题剖析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.8.（2022呼和浩特）下列运算正确的是（）A.区乂圾=2B.(m+n)2=m2+n21c.-1-2-_-X-l X XC 2 rs 2D.3盯3x 2y【思路点拨】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可.【规范解答】解：/、栏 X 册=2,故/不符合题意;B、（加+）2=m2+2mn+n2,故 5 不符合题意；。
二?故不符合题意；x*x-x2 2D、3声=一吐,故符合题意；3x 2y故选：D.【真题剖析】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.9.（2023益阳）计算：A/20 又后=1思路点拨】根据二次根式的乘法法则和性质进行运算即可.【规范解答】解：V20 XA/5=V20X 5=0,2-x0,.01.=2,v=京，则原式=&x 信=病=故答案为：【真题剖析】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.A考向九二次根式的应用22.（2023内蒙古）不等式x-1述 的 正 整 数 解 的 个 数 有（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【思路点拨】根据二次根式以及一元一次不等式的解法解题即可.【规范解答】解：尤-1遍，即无返+1,又 知 愿,2.236,即 x遥+1=3.236,故正整数解为3,2,1.故选：A.【真题剖析】本题考查二次根式以及一元一次不等式，掌握二次根式以及一元一次不等式的解法是解题的关键.23.（2023常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）.在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面.若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 74（精确到个位,参考数据：V21=4.5 8）-【思路点拨】连接/反 过点工作NC。
石交5的延长线于点C,利用勾股定理即可求得答案.【规范解答】解：如图，连接A B,过 点/作ZCD E交8的延长线于点C,则 NC=60-30=30（cm），BC=（x-60）cm,Q在 R t A 4 8C 中，BC=AB2-A C 2=也 3 2 _ 3 02=3 3 x 4.5 8=1 3.7 4=1 4 (c m),.x-60=1 4,，x=7 4,故答案为：7 4.【真题剖析】本题考查了勾股定理和二次根式的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，另外要仔细审题，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.最新真题芸萃1.（2023金华）要 使 它 有 意 义，则x的值可以是（）A.0B.-1 C.-2 D.2【思路点拨】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可.【规范解答】解：由题意得：x -2 0,解得：x 2,则x的值可以是2,故选：D.【真题剖析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.2.（2023通辽）二次根式百三在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A 1-1-1-1-R -1-1 -1 0 1 2 -1 0 1 2C I-1-1-1-D 1-1-1-1-1 0 1 2 -1 0 1 2【思路点拨】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可.【规范解答】解：二 次 根 式 在 实 数 范 围 内 有 意 义，则 1 -x K）,解得：烂 1,则实数X的取值范围在数轴上表示为:I-1-1-1-1012故选：C.【真题剖析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关定义是解题关键.3.（2023上海）下列运算正确的是（）A.a5a2=a3 B.cfi+cfi=屋 C.（京）2=D.4残2=a【思路点拨】根据合并同类项，同底数事的除法，幕的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答.【规范解答】解：4、=故/符合题意；B、a3+a3=2a3,故 5 不符合题意；C、（）2=6,故 C 不符合题意；D、1 2 =|,故。
不符合题意；故选：A.【真题剖析】本题考查了合并同类项，同底数嘉的除法，幕的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简,准确熟练地进行计算是解题的关键.4.（2020荆州）若 x 为实数，在“（6+1）口产的“口”中添上一种运算 符 号（在“+,-,x,/中 选 择）后，其运算的结果为有理数，则 x 不可能是（）A.V 3+1 B.V3-1 C.273 D.1-V3【思路点拨】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可.【规范解答】解：A.（V3+1）-（+1）=0，故本选项不合题意；B.（次+1）-我=1，故本选项不合题意；C.（北+1）与 2相 无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D.（展+1）（1-%）=-2,故本选项不合题意.故选：C.【真题剖析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答 本 题 的 关 键.（a+6）（a-b）a1-b2.（多选）5.（2021潍坊）下列运算正确 的 是（）A.（q-g）2=q2_ B.（-Q-1 ）2=-2 4 a2C.D.里=2b-3 b V3【思路点拨】根据完全平方公式判断/，根据负整数指数幕判断8,根据分式的基本性质判断C,根据二次根式的除法判断D.【规范解答】解：/选 项，原式=。
2-+,故该选项正确；48选项，原式=（a C）2=（）2=-V,故该选项正确；a aC 选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3,故该选项错误；选项，原式=加，故该选项错误；故 选:AB.【真题剖析】本题考查了完全平方公式，负整数指数塞，分式的基本性质，二次根式的除法，考核学生的计算能力，注意（高=看（定b 0）.6.（2021泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式 的 是（）A.我 与 北 B.&与g C.爬 与 后 D.反 与 近 j【思路点拨】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可.【规范解答】解：/、我=2 企 和 百 不是同类二次根式，本选项不合题意；B、J诵=2 正 与&不是同类二次根式，本选项不合题意；C、心 与 J而不是同类二次。