专题0 1勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）_ Um靠氢如他独_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【题型1 与长方形有关的最短路径问题】【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【题型4 将军饮马与最短路径问题】【题型5 几何图形中翻折 旋转问题】【方弦技巧】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下:几 何 体 中 最 短 路 径 基 本 模 型 如 下：长方体基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解一旦情至更能_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【题型1 与长方体有关的最短路径问题】【典 例 1】（2023丹 江 口 市 模 拟）如 图，地 面 上 有 一 个 长 方 体 盒 子，一只蚂蚁在 这 个 长 方 体 盒 子 的 顶 点 N 处，盒 子 的 顶 点 C 处 有 一 小 块 糖 粒，蚂蚁要沿着 这 个 盒 子 的 表 面 2 处 爬 到 C 处 吃 这 块 糖 粒，已 知 盒 子 的 长 和 宽 为 均 为2 0 a/,高 为3 0C，则 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 距 离 为（）cm.C.I0V29 D.70【变 式1-1 （2 0 2 2秋新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为1 5 c 7，1 0 C 7 ,2 0 c 7 ,点3离点。
的距离是5 c 7，一只蚂蚁想从盒底的点Z沿盒的表面爬到点比蚂蚁爬行的最短路程是（）1 5 c加A.1 0 V C 7 B.2 5 c 7 C.5A/29CWD.5V37cm【变式1-2 （2 0 2 3春光泽县期中）如图，长方体的长为1 5,宽为1 0,高为2 0,点5离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点2爬到点5,需要爬行的最短距离是（)C.10西+5 D.35【变式1-3 （2 0 2 3春灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3 c），已知点5与点C之间的距离为l e w,一只蚂蚁沿着正方体的表面从点/爬到点C,需要爬行的最短距离为（）AA.V37 cir B.5c7 C.4cm D.V10 cir【变式1-4（2022秋莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2,M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点3 处，它想沿正方体的表面爬行到点”处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（C.V13 D.2A/5【变式1-5（2022秋汝阳县期末）如图，在长为3,宽为2,高为1 的长方体中，一只蚂蚁从顶点N出发沿着长方体的表面爬行到顶点5,那么它爬行的最短路程是（）-A.V5 B.V18 C.V20 D.V26【变式1-7（2022秋平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4,2,9,用一根细线绕侧面绑在点/,3处,不计线头，细线的最短长度 为（）A.12B.15C.18D.21【变式1-8（2023陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2 厘米和4 厘米,高为5 厘米.若一只蚂蚁从尸点开始经过4 个侧面爬行一圈到达。
点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米.A.8 B.10 C.12 D.13【变式1-10（2022春五华区期末）如图，正方体的棱长为2c7 ，点5 为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点幺爬到点3 的最短路程是（）A.y/lOcrn B.4c7 C.y17ctii D.5cm【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【典例2】（2023春防城区期中）如图，一圆柱高5 c=12mv，底面周长是16ncwz,P 为5 c 的中点，一只蚂蚁从点2 沿圆柱外壁爬到点尸处吃食，要爬行的最短路程是（）PCA.2ncni B.1 liTcr/i C.IOTTCI/I D.9itcni【变式2-1（2023春德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18c加，底面圆的周长为4 8 c 在外侧底部点N处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点5 处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（）r-BA.52cmB.30c7 C.cirD.60变式2-2 （2 0 2 3 春夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50c 7,当一段葛藤绕树干盘旋2 圈升高为2.4 m时，这段葛藤的长是（）7 .A.3 B.2.6 C.2.8 D.2.5【变式2-3 （2023春东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36,高48=5,尸点位于圆周顶面工处，小虫在圆柱侧面爬行，从/点爬到尸点,3然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）BAA.26 B.1 3+V 61 C.13A/2 D.2761【变式2-4 （2023春富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24c 加，高为9 c 7 的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4c 7 的点N沿侧面爬行到相对的底面上的点5 所经过的最短路线长为（）AA./L3ctii B.15cm C.1 4c 7 D.1 3c 7【变式3-5 （2022秋蒲城县期末）今年9月 2 3 日是第五个中国农民丰收节,小彬用3 D打印机制作了一个底面周长为20C7，高为2 0 c的圆柱粮仓模型.如图5 c是底面直径，4 3 是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带,使装饰带经过a C两 点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A.20T T C?B.40T T C7 C.10y/5 c i rD.20 5 c i r【变式2-6（2023春宣化区期中）如图，圆柱底面半径为展er r，高为1 8c m,点N、3 分别是圆柱两底面圆周上的点，且点5 在点力的正上方，用一根棉线从N点顺着圆柱侧面绕3 圈到5 点，则这根棉线的长度最短为（）A.21cmB.24c 7 C.30cD.32c 7【变式2-7（2023春随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高45.为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3 圈，一直缠到起点的正上方为止.若柱子的底面周长是2）,则这条花带至少需要:ni.【题型3与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春连山区期末）如图是楼梯的一部分，若40=2,BE=,A E=3,一只蚂蚁在2 处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A.V5 B.3 C.V13 D.2V5【变式3-1 （2022春哪城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20c7 ，宽 30c加,长 50c加，一只蚂蚁从N点爬到3 点，最短路程是（）cm.A.1OV89 B.5OV5 C.120 D.130【变式3-2（2023春西塞山区期中）如图，在一个长为20加，宽为16？的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽月。
平行，横截面是边长为2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点处需要走的最短路程是【变式3-3（2022秋叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4 米、0.7米、0.3米，/、5 是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到5 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到5 点最短路程是 米.A 4【题型4 将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12c加，底面周长为18c7 .在杯内离杯底4 c 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 a与蜂蜜相对的点/处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为()cm,A.1 5 B.V 9 7 C.1 2 D.1 8【变式4-1 （2 02 2 春吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为1 2 C /,底面周长为I O”，在容器内壁离容器底部3 a的点5处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 a的点/处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（）A.3cm B.3-icni C.V 6 1 c;D.2 V 6 1 cw?【变式4-2 （2 02 3 春临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高 6 厘米，底面周长1 6 厘米，在杯口内壁离杯口 1.5 厘米的/处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，/的相对方向有一小虫P,小虫离杯底的垂直距离为L 5 厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是一厘米.,-、-，A P【变式4-3 （2 02 2 秋牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的。
型池，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2 5 的半圆，其边缘4 8=8=2 07.小明要在48上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（TT取 3）?.BA.3 0 B.2 8 C.2 5 D.2 2【变式4-4 （2 02 2 秋雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为1 1 口 ，底面周长为30 c 在杯内壁离杯底5 c机的点5处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2,与蜂蜜相对的点Z 处，则蚂蚁从外壁4处到内壁5处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A.12cmB.YlemC.2 0cD.25cm【变式4-5】（2 02 2 秋郸都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为2 2 c,，底面周长为 3 0c7 ，在杯内壁离杯上沿3 a的点3处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5 c7 与面包渣相对的点力处，则蚂蚁从外壁Z 处到内壁3处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）.【题型5 几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2 02 2 秋大东区校级期末）如图，己知矩形488沿 着 直 线 折叠，使点。
落在C处，B C 交AD于E,4 0=8,4 3 =4,则OE的长为A.3B.4C.5D.6【变式5-1】（2 02 2 春安乡县期中）如图，在C中，ZJ C 5=9 0,A C=1 2,5 C=1 0,点为3c 的中点，点石为NC边上一动点，连接E.将4沿石折叠，点的对应点为点若 N E C 为直角三角形，则4E的长 为 一.【变式5-2 （2 02 3 春长沙期末）如图，矩形488中，4 B=8,B C=4,将矩形沿NC折叠，点落 在 点 处，则重叠部分Z/C 的面积为.【变式5-3 （2 02 2 秋绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边4D,点落在5c 边的点尸处，已知51 0厘米，4 8 =8 厘米.（1）求5 尸与尸C的长.（2）求C的长.【变式5-4 （2 02 0秋海宁市期中）如图，R t Z 4 8 C 中，ZC=9 0,A C=3,BC=4,D为B C 上一点、,将4 8沿4D折叠至A 4 5 D,A B 交线段C D于点E.当上是直角三角形时，点到Z 5的距离等于.【变式5-5（2020浙江自主招生）将一直径为25a的圆形纸片（如图）剪成如图所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图（如图1）,长、宽均为2,高为8,里面盛有水，水面高为5,若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2 所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 CD【变式5-7 （2022春温州期末）图 1 是一款平衡荡板器材，示意图如图2,A,。
为支架顶点，支撑点5,C,E,尸在水平地面同一直线上，G,H 为荡板上固定的点，GH/BF,测量得/G=G a=Z W,尸上一点且离地面1 m,旋转过程中，/G 始终与077保持平行.如图3,当旋转至N,0,H 在同一直线上时，连结G Q,测得G Q=.6m,A D QG=90,此时荡板G 距离地面0 6 ，则点离地面的距离为 m.DD图I【变式5-8(2022公安县模拟)某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，A B=84c7，BC=3Qcfn,CP=36cm,侧面如图1所示，石厂为隔板，等分上下两层。