招展.,定义您(斛各段J 题 目 1(2024 安徽蚌埠 统考模拟预测)对于无穷数列而5 2,厮,，我 们 称/=，/=a o+a通n=0 n.+*/+，犬+(规定0!=1)为无穷数列 an的指数型母函数.无穷数列1,1,，1,的指数型母2!n 函数记为e(e)=7/九=1+力+今H-+，它具有性质e(6)e(g)=e(6+y).M !2!n!(1)证明：e(x)=)；e(幻 记3)=篇/=1 差+(烹+.证 明：心)=3学 过(其 中i为虚数k=0(2切！，%ZK)1/单位)；(3)以函数 为指数型母函数生成数列 3 ,-=汇 生，=B0+B1X+需/+牛/e(a;)-1 e(x)-1 n 2!n!+.其中 称为伯努利数.证明：目=且玛八+1=0依=1,2,3/-).题目|2)(2024上 金国 南三校联考竟妻)设有两个集合4 B,如果对任意a e 4,存在唯一的b e B,满足/(a)=6,那 么 称/是 一 个 的 函 数.设/(a)是的函数，g(6)是B-C 的函数，那么g(/(a)是A一的函数，称为g 和/的复合，记为9了.如 果 两 个 的 函 数/,g 对任意a C A,都有/(a)=g(a),则称/=5(1)对/(为)=e”,分别求一个g(c),无(C),使得(g。
f)(/)x (/八)(劣)对全体力1恒成立；(2)设集合A B C 和 A-C 的函数a 以及石小的函数0.对 E=(a,b)aE A,bE B,a(a)=0(b),构造 E 4 的函数 p 以及ET_B 的函数 q,满足a6 q；(阪)对E=(a,b)I a G A,b G B,a(a)=0(6),构造E A 的函数p 以及E B 的函数q,满足aq,并且说明如果存在其它的集合E 满 足 存 在 的 函 数“以及E B 的函数，满足则存在唯一的E 的函数”满足p沙=p,qo=q.题 目(2024下 湖 北 南一湖北省汉川市第一高线中学校篡考开学考和定义在上的函数/(二)，如果满足:对任意G存在常数M 0,I/O)|“恒成立,则称/(，)是O上的有界函数，其中M称为f x)的上界.(1)若/(2)=4+a-2X+1在(-0),0上是以2为上界的有界函数，求a的取值范围；(2)已知/(2)=1 +(H i为正整数,是否存在整数k,使得对Vn G N*,不等式mW 卜 于(n)m+2恒成立？若存在，求出k的值;若不存在,请说明理由.题 目|4）（2024 安 微 南一校联考期末）对于函数/（力）（z e。
为函数定义域，若存在正常数T,使得对任意的劣e都有/Q+T）W/Q）成立，我们称函数/Q）为“T同比不增函数”.（1）若函数/（=f ee+s in,是“专同比不增函数”，求的取值范围；（2）是否存在正常数T,使得函数/Q）=2上一1|+|,+1为“T同比不增函数”，若存在，求T的取值范围;若不存在,请说明理由.题目|5)(2024 江苏常州 高一统考期末)中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数,它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义,我们可以定义中心对称函数:设函数y=/Q)的定义域为若对V e e都有/(2m c)+/(c)=2九，则称函数/(2)为中心对称函数，其中(m,n)为函数/(,)的对称中心.比如，函 数 夕=?+1就是中心对称函数，其对称中心为(0,1).(1)判断/(,)=孑 斗 是否为中心对称函数(不用写理由)，若是，请写对称中心；(2)若定义在 兀,2兀 上的函数/(力)=sin(26+p)为中心对称函数，求 0 的值；(3)判断函数g(力 是 否 为 中 心 对 称 函 数，若是，求出其对称中心;若不是，请说明理由.题目|6）（2024 山添济宁 高一统考期末）已知函数/（力）=l n（e l）l n（e，+l）.（1）求函数/（约的定义域；（2）试判断/（）的单调性,并说明理由；（3）定义:若函数F（在区间 小,汨上的值域为R n,汨，则称区间 m,n 是函数FQ）的“完美区间”.若函数g（c）=/（0+I n fe存在“完美区间”，求实数b的取值范围.题目7）（2024云南北明 统考模拟很凋）我们把劭+Q任+电力+n=0（其中0,nGN*）称为一元九次多项式方程.代数基本定理:任何复系数一元九（九GN*）次多项式方程（即劭，Q 1，电，Q 为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 6 N*）次多项式方程在复数集内有且仅有打个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知:任何复系数一元九（九6 *）次多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为n个一元一次多项式的积.即QO+Q便+a2x2+.+anxn=an（x 生产（6 g）心 （力一。
加产，其中k,mE N*,自+自+.+fcm=n,生，的，.，为方程任+Q 2/+.-anxn=0的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即a的，Q?，Q九为实数），方程劭+1/+电/+.-anxn=0的有实数根，则多项式Q 0+Q 1/+&/+.+时/九必可分解因式.例如:观察可知，力=1是 方 程1=的一个根，则（X 1）一定是多项式力3 1的一个因式，即/-1二（力I）（Q/2+6/+C）,由待定系数法可知，Q=b =c =l.（1）解方程：2劣+1=0；（2）设/（力）=Q o+Q i力 +2力2+3 63,其中 a0,电，电，/?+，且劭+1+电+3=1（i）分解因式：x （劭+的/+a2rr2+a3x3）；（n）记点P（xo,yo）是g=f 的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点.求证：当a i+2a2+3 a3 l 2 2%1 题 目|9)(2024 广 添 南一统才期末)定义：函数八乃若存在正常数T,使得/Q +T)=/(为+M，M为常 数,对 任 意R恒成;则称函数/(2)为T 代 M 阶函数”.(1)判断下列函数是否为“2 代M 阶函数”？并说明理由.力(2)=sin兀,力(2)=27(2)设函数F(,)=/(,)+g(,)为“4 代初阶函数”，其中/(c)是奇函数，g(c)是偶函数.若/(2)=1,求/(2026)的值.题目 1 0(2024 上 上 海 高一上海市洋泾中学校考期末)对于定义在区间 a,b 上的函数/(功,若易(多)=ma x /(力)|Q4力0且a#l,函数/(H)=/+(3 -*)-1,2 6 S1,如果弓(0；)与乃恰好为同一函数,求(1的取值范围；(3)若 Qx)=mi n/(t)|a t 1,为其定义域上的”函数”，求实数馆的取值范围.t 4,x 0）是否存在“优美区间”？（直接写出结论,不要求证明）X（2）如果函数/（C）=+a 在R上存在“优美区间”，求实数a 的取值范围.承鼠.通火鸟.借4MU 题目|1(2024 安棠坤埠 统考模拟51测)对于无穷数列Q。
Q i，2,Qn，我们称/(力)X-7 Q o+Q便n=0 n.+*/+，犬+(规定0!=1)为无穷数列 M 的指数型母函数.无穷数列1,1,，1,的指数型母2!n 函数记为e(C)=7劣九=1 +力+今H-3+，它具有性质e(6)e(g)=e(c +y).M!2!n!(1)证明：e(a?)=)；e(幻记差+乎+(烹+.证 明“(/)=3学 应(其 中i为虚数k=o(2k)!4.(2k)!2单位)；产、R R R(3)以函数 为指数型母函数生成数列 3 ,=生，=B0+B1X+需/+牛/e(x)-1 e(x)-1 M!2!n!+.其中 称为伯努利数.证明：目=且岛底1=0依=1,2,3/-).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由e(/)e(g)=e(i +g),通过赋值即可证得；(2)根据i的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；构 造g(力)=：-，可以推出g(/)一g(力)=/，然后再可证得.e(x)1【详解】(1)令力=0,则e(O)=1.由 e(x)e(y)=e(x+g),令 g =x,则 e(a 7)e(re)=e(0)=1.因为 e(/)W 0,故 e(T)=Je Q)(2)证明：因为(法 产 (一法产 一 九 2/知(4n)!(4n)!(4n)!(4n)!(4n)!陵 产+1+(说产+1=/1+/I=0(4n+l)!+(4n+l)!(4n+l)!+(4n+l)!-(仙尸+2+(m产+2=_”+2+_ 切+2=_2产2(4n+2)!+(4n+2)!(4n+2)!+(4n+2)!(4n+2)!(24+(一讫产L+法4+3(4n+3)!(4n+3)!(4n+3)!(4n+3)!00e(2T)+e ix)=Zn=0(4n+2)!8 9 f 1 k 8 f 1 k=2 4/=2 2/=2c ,段(2k)!自(2k)!所以c&)=e(仙)e(一 仙)证 明：令g(6)=：，则有e(幻1g(一 -g(x)=-：-(:=-4-+z?n 1e(一 力)1 e(rc)1 L e(1 e(/)1 e(x)1 +e(x)1 e(a;)+e(a?)2 T -7;-=T e(T)1 e(rp)1 2 e(a?)e(x)D 、0、D因此a;=g-x)-g Q)=万安(一-一汇泰/n=0 n=0 n*00 TD_ n y /c+i,o(2f c +l)!/+i=B z k+l(2f c +l)!2fc+l故B=J 且 f0，即 场/=0(%=1,2,3,)./k=i (2/c +1J!【点睛】关键点点睛：主要考查了复数i的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比较高，综合性很强.题 目 2(2024上 全 国 南三校联考竞料设有两个集合4 B,如果对任意a e 4存在唯一的b G B,满足/(a)=6,那 么 称/是 一 个 的 函 数.设/(a)是的函数，g(6)是B-C的函数，那么g(/(a)是A一。
的函数，称为g和/的复合，记为9了.如 果 两 个 的 函 数/,g对任意aCA,都有/(a)=g(a),则称/=5(1)对/(为)=e”,分别求一个g(c),无(C),使得(gf)(/)x(/八)(劣)对全体力 1恒成立；(2)设集合ABC和A-C的函数a以及石小的函数0.对E=(a,b)I a E A,b G B,a(a)=0(b),构造EA的函数p以 及 石 的 函 数q,满足=0 q；(阪)对E=(a,b)I a G A,b G B,a(a)=0(6),构造E A的函数p以及E B的函数q,满足ap =0q,并且说明如果存在其它的集合E 满 足 存 在 的 函 数“以及E B的函数，满足则存在唯一的E T E的函数力满足p力=p,q必=q.【答案】g(6)=，案,hx)V i na;p(Q,b)a,q(Q,b)=b;(前)p(Q,b)a,q(a,b)=b,说明见解析【分析】(1)利用对数函数性质结合题干条件求解；(2)利用常函数求解；(优)结合再证明唯一性即可.【详解】因为(g/)(力)=t i n e=4 =/,而(/九)(力)=eln a:=x,(9/)(力)=力=(/九)(力)对全体力 1恒成立；故g(力)=ln劣仇(力)=V i n a;对所有力 1成立.(2)(i)考虑p(Q,b)=a以及q(a,b)=b两个函数,对任意(a,f e)e E,因为 a (a)=8(b),所以 a。
a(p(a,b)=a(a)=/3(b)=0(q(a,b)=0q.(w)我们可以继续使用的构造，任意取 eG E,因为 a p q,所以 a(p(e)=6(q(e),所以以e)Aq(e)G B,则(”(e),q(e)G E,因此存在力(e)=(d(e),q(e)满足条件;如果“符合题意，目p p小=p ,qW=d,则 p(e，)=p，(d),q(d)=，),由 p,q 定义得到“(e)=(p(e),q(e);所以存在唯一的E-E的函数族满足。