2025年高考数学一轮复习-7.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练一、基本技能练1.已知向量仍，1）,b=（l,5），则向一QWR）的最小值为（）A.2 B.坐C.l D.小1 7g2.已知协，应：，I 麴 1=：,I/1 =/,若点P 是ABC所在平面内的一点，且存=的+鬻，则丽寿的最大值等于（）A.13 B.15C.19 D.213.设为两个非零向量a,8 的夹角，已知对任意实数/,他一切的最小值为1,则（）A.若确定，则唯一确定B.若确定，则向唯一确定C.若确定，则唯一确定D.若步|确定，则唯一确定4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形的剪纸窗花，已 知 图 二 中 正 六 边 形 的 边 长 为 4,圆的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点P 在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的.丽的取值范围是（）图一图二A.6,12C.8,12B.6,16D.8,165.在ABC中，3C=2,4=453 为锐角，点。
是ABC外接圆的圆心，则为.庆:的取值范围是（）A.（2,2钩 B.（2卷 2C.2/，2g D.（2,2）6.在ABC中，点满足量）=抽，且则当角A 最大时，cos A 的值为（）A.-|B.|揖DH-347.已知ABC为等边三角形,AB=2,AABC所在平面内的点尸满足瓜 一 油一病1 =1,则区|的最小值为（）A.小 一1 B.2巾1C.2V3-1 D.由 一18.已知四边形ABCD是边长为2 的正方形,P为平面ABCD内一点，则（戌+丽）（近十国）的最小值为（）A.-4 B.4C.无最小值 D.0 2兀9.在菱形A3CD中，ZB A D=y,A5=2,点M,N分别为BC,CD边上的点，A 且 满 足 幽 侬，则 加 前 的 最 小 值 为.BC CD10.已知平面向量a,b 是单位向量.若a b=0,且|ca|+|c2小，则|c+2al的 取 值 范 围 是.11.若 a,方是两个非零向量，且=|例=加+臼，丸 半，1,则 a 与 a+b 的夹角 的 取 值 范 围 是.31 2.在 A B C中，点当E点段AD上移动时，若翁=7屈+公，贝U/=1）2+2的 最 小 值 是.二、创新拓展练1 3.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆4前轮）、圆。
后轮）的半径均为小,ABE,3 E C,均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，戢访的最大值为（）A.1 8C.3 6B.2 4D.4 81 4.已知等边 A B C的面积为9#,且AABC的内心为若平面内的点N满足也W|=b则 隔 范 的 最 小 值 为.1 5.在边长为1的等边三角形A3C中，为线段3c上的动点，DEAB AB于点E,且交AC于点R,则|2魂+方|的 值 为；（屋+两.应的最小值为.1 6.已知平面单位向量e i,e 2满足|2 e ie 2|W/.设a=e i+e 2,b=3ei+ei,向量a,b的夹角为e,则c os20的最小值是.参考答案与解析一 基本技能练1.答 案C解析 由题意可得加一/=4(小，1)(1,小)=(6 7 1,4一5),所以，b a 肝=(541)2+(丸一小)2=4/4小4+4=4卜 一 争+1,故当见=坐时，|丸a 臼取得最小值1.2.答 案A解 析 建立如图所示的平面直角坐标系，则3,0),C(0,/),A B=(j,0),A C=(0,t),存=&+还一|m AC1 0)+y(0,0 =(1,4),/.P(l,4),PBPC=(j l,-4 (-1,r-4)=1 7-|j+4?|1 7-2 J1-4 Z=1 3,当 且 仅 当 时 等 号 成 立，.,.而 无的最大值等于1 3.3.答 案B解析 由由一划的最小值为1知(万 一f a/的最小值为1,令人/)=3 一以产，即 fi.t)=b22ta-b-?a2,则r i 对于任意实数m /，五。
的,最B 小,值,为,-4-a-2-Z-2诟(-2-a-Z-)-2=-4-a-2Z-2-(2肾|a|/-|c-o-s -0-)化简得 62(1 COS20)=1,观察此式可知，当确定时，回唯一确定，选B.4.答 案C解析 PM-PN=(Pb+dM)iPb-)=PO2-O M2=Pb1-4,因为|户“2/，4,所以的丽的取值范围是8,1 2.5.答 案A解析 依题意得，A B C的外接圆半径 羽=隹 同 尸 隹_ _J工b如图所示，因3为锐角，故A只能在弧AC上(端点除外)，当A在A 2位置时，血2与求同向，此时不比有最大值人”，当A在4位置时，d A i BC=-2,此时为最小值，故而.病(2,2 6.故选A.6.答 案C解析 由题意，作出示意图如图所示，因为所以诙=画+量)=南+B.CB=CA+AB,CDLCB,|-|CA|c os A =0,|西2+；|丽2所以c os A =|A 5|-|CA|=A5 A B A C 5 A B=r当且仅当A3=2AC时取等号，故选C.7.答 案 C解析 IAB+ACI2=AB2+AC2+2ABAC=AB2+|AC|2+2|A5|AC|cos 1=12,所以|成+南|=2小，由平面向量模的三角不等式可得|AP|=|(AP-AB-AC)+(AB+AC)|邦|成一屈一病|一|成+危|=一1.8.答 案 A解析如图所示，建立平面直角坐标系xAy,-yD-iC*P-A B x则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),)(0,2),设 P(x,y),则戌=(x,-y),PB=(2x,-y),PC=(2x,2-y),PD=(x,2y),所以(成+访).(无+防)=(22x,2y)(22x,42y)=4(%1)2+4。
一 1)24,因此，当x=y=l时，(中+而)(近+国)取得最小值为一4.综上，故选A.39.答 案 2解 析 设 幽 二 函:/,0W/W1,BC cbAM=AB+BM=AB+tBC=AB+tM),AN=AB+BC+CN=ABBC+tCD=AB+Ab-tAB=(-t)ABAb,所以痴俞=(AB+zAD)(l-?)AB+AD=(l-r)AB2+zAD2+(l+r-?)A B A b2=4(1f)+4/+(l+T)X 2X2X(g =2p 2/+2=2)一0 +|,1 3因为OW/W l,所以当=时，2於-21+2取得最小值5，即随前的最小值为宗10.答 案 第，3解析 由题意，设 a=(l,0),Z=(0,1),c=(x,y),因为匕一回十匕一2小，即N(X-1)2+12+、2+(2)2=小,所以由几何意义可得，点尸(x,y)到点A(l,0)和点3(0,2)的距离之和为小.又履3|=小，所以点P 段A 3上，且直线A 3的方程为2尤+y2=0.因为|c+2a|=N(x+2)2+y2表示点p到点“(2,0)的距离，又点M 到直线AB的距离为|2X(-2)2|_ 65，1+4 5，此时，点M 到直线A 3垂线的垂足段A 3上，|肱 4|=3,也的=2/，所以|c+2al的取值范围为 印，3.n.答 案 隹 f 解析根据题意，设1。
/,则同=1臼=/，设a与a+b的夹角为0,由|a+b|=/,得/+2 a 协+方2=,又|a|=|加，所以滔+“仍=奈 所以_（a+力）_ a2+a协 _2 _1 _COS 6=aa+b=XtXt=I?=2 l-又7 G则g w c o s,1jrn又owewm所以金 币3 J.,91 2.答 案 JQ设 施=应），O W E,又A E=Z 4 B+“,S“2 k七 一a+1,O W E,o ZA E=A B+A C,2 9.,当左=5时，/取到最小值，最小值为正.二,创新拓展练1 3.答 案C解析 骑行过程中，A,B,C,D,E相对不动，只有P点绕点作圆周运动.如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系,(O K D由题意得 A(4,0),5(2,23),C(2,2小),圆方程为(x4)2+y2=3,设尸(4+小 cos%小sin a),则公=(6,25)，BP=(6+V3cos a,Msina2M5),AC BP=6(6+/3cos)+2/3(/3sin a2y3)=6y/3cos a+6sin a+24=12sin a+坐 cos，+24=12sin(a+24,易知当sin(a+1=l时，就加取得最大值36.14.答 案 5 2y/3解 析 设 等 边 AABC的边长为，则面积5=坐/=舶ycA O解得a=6,以A 3所在直线为x 轴，AB的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为为AABC的内心，所以点”在。
C 上，且 0M=*)C,则 A(3,0),8(3,0),C(0,3 4)，M(0,小)，由|跖V|=l,得点N 在以为圆心，1 为半径的圆上.设 N(x,y),则？+(小=1,即 f+V 2 小 y+2 =0,且4 l Wy Wl+小，NA=(-3x,-y),N B=(3 x,-y),N A-N B =(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=2 y/3 y-1 1 2 y/3 X(y/3-l)-l l =-5-2 G1 5.答 案 1 9解 析设 BE=x,%e|0,I二 A B C 为边长为1 的等边三角形，DELAB,：./BDE=30BD=2x,DE=3x,DC=l2x.：DF/AB,.D RC是边长为1 2 x的等边三角形，DEDF,：.(2 B E+附 2=4 或 2+4 B E D F+D F2=4 x2+4 x(l-2 x)Xc o s 0 +(l-2 x)2=l,：.2BE+DF=1.：(nE+DF)-DA=(DE+I)iDE+EA)=D E2+JDE+DFDE+JD FJE A =(V3X)2+0+0 +(1-2X)-(1-X)=5X2-3X+1 =5(k 需+养3 1 1所以当x=记时，(施+丽殖取最小值为而.1 6.已知平面单位向量ei,e2 满足|2 ei e2|W色.设a=ei+e2,8=3 ei+e2,向量a,b的夹角为e,则c o s20的最小值是.处 案 口木 29解析法一设 ei=(l,0),ei=(x,y),则 a =(x+l,y),=(x+3,y),2ei 6 2=(2 x,y),故|2 e i e2|=yj(2-%)2+y2-/2,得(%2)2+y2W2.又有 x2+y2=1,则(xZ y+lfWZ,化简，得4无 2 3,即x衿3，因此g3x W L2(a b?r(x+1)g,3)+产：c o s 向的(x+1)2+y2yl(x+3)2+y2)_ 4x+4 V 4(x+1)22x+2/6x+loJ(尤+1)(3x+5)4(+1)3(3 x+5)-3 4_ 33x+5=3x+5=3-3x+5,3当%=1 时，CO S2。
有最小值，Hl)28为 3-7Q-3 X/5法 二 单位向量e i,2满足|2 e i e2|W表，所以|2ei2|2=5 4eieW 2,3即eie 2 不因为a=e i+c 2,8=3 e i+c 2,a,8的夹角为仇北 9(ab)2所以c o s 0=MF(d +2)(301+02)12|e i+e 2|2|3 e i+e 2 F(4+4纵 02)2(2+2纵 2)(10+6ee2)4+4e e25+3eie23 4 4/不妨设 f=e re2,则/三不 cos2 0=5+37,又y=4+E4/在；3，+8）上单调递增.所以 cos2三|=|.5+a所以cos2 0 的最小值为|1.法 三 由 题 意，不妨设为=(1,0),2=(cos x,sin x).因为|2eiW 啦,所 以(2cosx)2+sin。