第 02讲平面向量的数量积及其应用目录01考情透视目标导航.202知识导图思维引航.303考点突破题型探究.4知识点1：平面向量的数量积*.4知识点2：数量积的运算律.5知识点3：数量积的性质.5知识点4：数量积的坐标运算.6解题方法总结.7题型一：平面向量的数量积运算.7题型二：平面向量的夹角问题.10题型三：平面向量的模长.13题型四：平面向量的投影、投影向量.15题型五：平面向量的垂直问题.19题型六：建立坐标系解决向量问题”.20题型七：平面向量的实际应用.26题型八：向量回路恒等式.3104真题练习 命题洞见.3205课本典例高考素材.3406易错分析答题模板.38易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错.38答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积.381 /40考点要求考题统计考情分析（1）平面向量的数量积（2）平面向量数量积的几何意义2024年 I 卷第3 题，5 分2024年 H 卷第3 题,5 分2023年 I 卷第3 题，5 分2023年 II卷 第 13题，5 分2023年 甲 卷（理）第 4 题，5 分2022年 H 卷第4 题，5 分平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择 填空形式出现.交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现.向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视.预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点.复习目标：（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题2/402 皿SM图里 维 己 肮一:平面向量数量积的定义已知两个计零向量7与 认 我们把数量同NesH叫做Z与方的数量枳（或内枳），记作i 石，即石=|司司co sO,规定：零向量与仆-向量:的数盘枳为0.数量枳的运算律数量积的性质平面向量的数量后）/平面向量数量积的几何意义;一a-b=b-ay-（而防=入（3句=（坊.）（a+b）-c=a-c+b-c-H ea=a e-a cosG ）平面向量的数量积及其应用当与各同向时,3 1加=同同;当Z与方反向时，a*F=-|a|d|.ab 一皿8=1=（同 同 工0）回冏数量积的坐标运算（向量的投影何以。
叫做向最 方 向 上 的 投 影 数 量,当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是倒数；当为直角时，它是0.1（拼行的几何意义）（数量积3万 等 的 长 度 同 与W而方向上射影向c o se的乘枳.）已知非零向展方=（不，%），h=（x2,y2）,为向量方、/的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|=y/a-a|5|=7+/数量枳a-b=|5|b cosO方.6=&*2+乂月夹角加三1方也c o s-,斗+兴?，打+y：3；+*方，力的充要条件a-h=0X卢2+凶必=a/b的充要条件a =Z b（b w而一/凶=商 而 引 方 面 的美系 a-b 2 和实数4,贝 1 J：方/)二6 石；(Z H)-b=A (a -b)=a -(A b)；+bc=a -c+b-c.【诊断自测】(20 24 四川雅安模拟预测)在小B C中，/5 =4,/3,且 方，就，则9.就=()A.1 6 B.-1 6 C.20 D.-20【答案】B【解析】因 为 方 _ L就，所 以 方.=()，A B-B C =A B-A C-A Bj=A B-A C -A B=0-42=-1 6.故选：B知识点3：数量积的性质设d、石都是非零向量，5 是与Z方向相同的单位向量，6 是石与5的夹角，则 e-a =a-e=a c o s 0 .a L b a-b.当日与Z同向时，a-b=a b；当Z与Z反向时，a-b=-a b .特别地，鼠石=用/或 c o s 0 =匕（|2 1|i 0）.12.Z|W|2|向.a b【诊断自测】（2024 西藏模拟预测）已知向量Z=（c o s a+；,s i n（a+3,g =k o s e+g）,s i n a+=.若（2 +可 _L ,+/）,则实数x 的 值 是（）A.2 B.C.D.222【答案】A5/4 0【解析】由题意得,卜.=1,a-坂 =c s a+|J x c o s a+谓+s i n a+,x s i n a+.=c o s a +y -a -g）=c o s-=，因为（24 +可 _L （a +口）,所以（2“+4（7 +口）=0,所以2 +而（=0,所以2+x =0,解得x =-2.故选：A.知识点4：数量积的坐标运算已知非零向量2=（X ,乂），b=（x2,y2）,0 为向量3、3的夹角.【诊断自测】已知平面向量方=（1,网 了=（6,1）,且 3“彼-司，则实数2 的 值 为（）结论几何表示坐标表示模a =y/a -a a =x2+y2数量积a -f e =|a|cos3a-b=xxx2+yxy2夹角c o s 3 =0|2|6|cos,二 产J x；+y；考+y；al b的充要条件a-b=0 xx2+yy2=0a/b的充要条件a =A b（b w 0）x/2-Z 弘=0|九|与 a b的关系|a|6（当且仅当N g 时等号成立）1再超+必力 i wJ x；+y；,J%；+/A.-B.C.Y D.-3 2 2 3【答案】B【解析】由已知得同=+（省=2,=1x 73+73 x 1=273 ,又。
0-篦），所以屋，一府）=0,即小B-须 2=o，所以2道-4 2=0，解得力=心.2故选：B.6/4 0解题方法总结（1）B 在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于o.（2）数 量 积 的 运 算 要 注 意 6 时，）/=0，但小B=o 时不能得到及=6 或分=0,因为日,不时，也有3 防=0.（3）根据平面向量数量积的性质：|a|=J 展，c o s0=,3 _L B=3 4=0 等，所以平面向量ab数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.（4）若、b、c是实数，则=c （awO）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量G、B、了 满 足=H （方0）,则不一定有B=即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量.（5）数量积运算不适合结合律，即（鼠3）,工屋（=3）,这是由于（限3）1 表示一个与E 共线的向量，a-（b-c）表示一个与a共线的向量，而 2 与己不一定共线，因此伍石）高与晨（九己）不一定相等.1题型 洞 察J题型一：平面向量的数量积运算【典例 1-1】设平面向量a =(1,3),|B|=2,J L|a-Z)|=VT o ,贝!(2G+3)(G-B)=()A.I B.14 C.V14 D.M【答案】B【解析】因为Z =(i,3),所以同=厮，又=2,贝山一3|2=。
2一 2晨3+庐=14 一 2限3 =10,所以Z 4 =2，贝 3+研 力 )=2方 _鼠/铲=20-2-4 =14 ,故选：B.【典 例 1-2】在 R M4B C 中，Z C =9 0 ,4 8 =4,A C =2,为AABC的外心，则 近.团=()A.5 B.2 C.-4 D.-6【答案】D【解析】在 Rt A/3 C 中，/B =4,A C =2,S C =A/42-22=2 7 3 -N 8 =3 0 7/4 0.（/0,5 0）=150为的外心，.O 是4 5 的中点，/.40=2UUIT UUT|UUIT|.UUT.cos0=4x3=12.故选：A【变 式 1-3（2024安徽芜湖模拟预测）已知边长为1 的正方形/BCD,点，则 冠.而=（）五 为（）点、E,尸分别是5C,CD的中8/40【答案】DU.LUL LlUUl I-!I-【解析】边长为1 的正方形48cZ）,/3.4 D =0，网=%1，故选：D.【变 式 1-4（2024陕西安康模拟预测）菱形4 8 c o 的边长为2,60为圆心作圆且与AQ-AE相切于E,Q 是与C 0 的交点，则 f .叩一【答案】1+V3/V3+1【解析】由题可知q 同=6,|赤|=1贝”而 卜 百，所 以 诟.荏=八冠卜os 60=1,而.近=|丽 1次卜os 0=百，故 而.荏=（而 +而）.荏=2 5 万 +9石 =1+5故需 +后【变 式 1-5（2024浙江宁波模拟预测）已知“8 C 是边长为1 的正三角形，丽=；祝，尸是3 N 上一 2 点且4尸=加48+4。
则/尸（）9/40【答案】A_ _ i _ IMF i uuir uuir uur 7x n r umr Q uuir【解析】v AN=-N C ,AN=-A C ,A P =mAB+-A C =mAB+-A N,3 4 9 9o 1而尸1,N 三点共线，加+=1,即加=,umr 1 umr 2 U U L T/.AP=-A B +-A C,9 9所 以 方.在=而+刀=：+1 xcos60=-|.故选：A.题型二：平面向量的夹角问题【典例2-1（2024陕西安康模拟预测）已知单位向量获满足归-3*3,则c o s R =【答案】|6【解析】因为卜-3 可=3,且=行口,所以|1-3 3 =9,所以值 2 一 6万 B+9庐=9，一 1即展6又 展B=WcOS,B）同=同=1,所以cos伍=L 6,则向量扇B 的夹角的余弦值为10/40【答案】近1 4 b【解析】设向量扇3夹角为6,贝!1可亓ab1 31 +-_ _ _2VTT x 225 近故答案为:等.【方法技巧】求夹角，用数量积，由:4=1 码 柘|c o s g 得 c o s g=）+上必=进而求得同劭I府尸百向量扇B的夹角.【变式2-1（2 0 2 4 江西宜春三模）已知,石均为非零向量，若12HH司=2 内，则 与石的夹角为,【答案】|【解析】由1 2 1 g l=|,可 得 2 -司2=向 2,即4|彳 _ 4+|必=向2,解得%=向 2,因为|昨 2 内，所以侬 母 分 二 小 乡 二 坦 三 月，1 1 1 1 a b 2|a|2 2又因为0 W,兀，所以（范）=|.故答案为：j-.【变式2-2已知3 =（2,1）3=（冗-2）,左 eR 为与否的夹角为。
若 9 为钝角，则上的取值范围是.【答案】左 1 且左片一4八 a-b 2 k-2【解析】由CS6=W M=J.J4+4，且为钝角，所以2 左-2 0,解得上 1,当Z/B 时，贝 i J 2 x（-2）-左=0,解得k=一4,此时a 与B夹角为兀，不成立，:.k 1 且 k R 4 .故答案为：左 1 且后R-4.【变式2-3（2 0 2 4 高三 天津宁河期末）已知单位向量录与后的夹角为三，则向量1+2 届与2,-3 后的夹角为.【答案】丁/1 2 0 1 1/4 0【解析】因为单位向量6 与e2的夹角为三,所以q.=k小同cos-=lx lx-=i3 2 2所以（，+2 4），（2,_ 3 6）=2,+-e2-6e272=2 H-6=2/2 -2 -2 1（6+2%）=,+4,6 +4色 l+4x +4 7故kI+2e2卜 V7,=4-1 2 x-+9=72故区一 3司=V7,所以cos（q+2?2,2q（令+,+2e2|-|2-3e2|7-2 1V7xV7 2又卜 1 +2色,2,-362）0,兀，_ 、*7 1 1所以向量q+2e2与2q-3e2的夹角为可.故答案为：【变式2-4(2024四川绵阳模拟预 测)平 面向量a 与B 相互垂直，已知a=(6,-8),=5,且B与向量(1,0)的夹角是钝角，则行=.【答案】(-4,-3)【解析】设 1=(x,y),;Z_L1,.,.万 Z =0，6。
80=0,，出|=Jx?+丁=5，因为B 与向量(1,)夹角为钝角，x o,，(%=4由解得 a，：万=(-4,-3).y=-3。