第 四 章 数 列（知识归纳+题型突破）课标要求1、能够结合具体实例，了解数列的概念，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这类函数的解析表达式，掌握通项公式与前项和公式的关系.2、通过等差数列和等比数列的研究，探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，感受数列是一种特殊的函数，体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，体会数学的整体性.3、能运用数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用.4、重点提升数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养.基础知识归纳1、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列%+1 2 4递减数列%+i 4%其中 eN+常数列=%2、数列的单调性若数列 4“满足对一切正整数，都 有%+i （或者4+1%），则称数列 4 为递增数列（递减数列）;（1）求数列%中最大项方法：当1 时，则%是数列最大项；%2%_ (_ 3)二9 1-口-门(3)因为i=8,Q =f c 1n=_ ,2 8即 4-=-3，解得 n=7,所以多一生（i 一,）1 98 171 2 7S 2.（2 0 2 3上高二课时练习）在等比数列%中,q =5 ,q=2,求6；-Aq =；,求 ；(3)S 3=1 4,%=2 ,求 0 ；(4)5=詈,q=；,求生.【答案】（1）2=3 1 5s弋 好2或”3(4)%=2 4【详解】(1)%=5,q=2,故=5 x(1-2 6)-=31 51-2(2)7 1 P 1 M 27。
8 =a、q=TT 又 q=不，故 q =8,1 6 2 1 68 x故国=1-2 5 5I8(3)由 S 3=4 +&+“3，可得 1 4=2+2 q +2 q?,S P q1+q 6 =0,解得夕=2或夕=3.6(4)ax xA=1-i-2吧1 Q Q，故,为 乂6 3力 1二8 9,，p即1 n q=2c/44 6 4 8题型三等差数列判断与证明【例3】（2 0 2 3安徽合肥 合肥一中校考模拟预测）设数列 叫 的 前n项和为S“，已知区4+3S,=4、+2%,%1,a 2 =3.（1）证明：数列用-2%是等差数列;【答案】（1）证明见解析【详解】(1)因为S+2+3S=4S M-2 a”,所以 S“+2 -Sn+l=3(5+1-S)-2a“,即 alt+2=3an+1-2a,所以(n+2-2%+1)-(+1 -2%)=（3%+i 一 2aH-2an+l）-（a+1-2an）=（%+I-2*-（%+-2*=0（为常数），所以数列2%是等差数列.反思总结：证明一个数列是等差数列的方法主要有定义法和等差中项法，本题主要使用等差数列定义，证明（%一 2/）-2 4）=0,得到%2%是等差数列.巩固训练1.（2023山东威海 统考二模）已知2+2 个数排列构成以Z,（%1）为公比的等比数列，其中第1 个数为1,第 2+2 个数为 8,an=log2 qn.（1）证明：数 列 是 等 差 数 列；【答案】（1）证明见详解Q 3【详解】（1）由题意可得：端 用=:=8,且%1,可得=2寸，I V 3,1 2+1所以“二log2 2 2+i =-，可得一 二一 一，2+1 an 3所 以 数 列 是 以 公 差为1 的等差数列.2.（2023 全国高二专题练习）已知各项均为正数的数列%的首项=1,E,是数列 凡 的前 项和,且满足。
囚+1 -4+5 +an-an+x=-anan+x（z z G N）.（1）求证：，封，是等差数列；【答案】（1）证明见解析【详解】（I）由已知可得，产 0.因为 anSn+x-an+lSn+an-an+x=anan+i,12 J所以，十+、%+1 S“+l _ l即%+1a2,又皿=也=2,axax所以数列，子Fj 是以2 为首项，g 为公差的等差数列.题型四等比数列判断与证明【例 4】（2023全国高三专题练习）已知数列%满足=：,（4%+1”用=3%，S,为数列，:1 的前项 和.求 数 列 的 通 项 公 式；【答案】（1）；-2=-1Un J1 3【详解】对（甸+1）%=3 g 的等号两边同时除 以.a“可得4+=，an an+即工一2=3 p L-2 ,又由q=3,可得 一 2=一 4，册（%）5%3则数列21是 首 项 为 公 比 为:的等比数列，1%J 3 3贝 一 一 的 通 项 公 式 为 2=_ g .-2反思总结：证明一个数列是等比数列的方法主要有定义法，本题主要使用等比数列定义，证明（一=3,-2%得到口一 2：是等比数列.巩固训练7 31.（2023下河南焦作高二统考期中）已知正项等比数列 g 的前 项和为5，且$3*力（1）证明：数列 S.-2 是等比数列；【答案】（1）证明见解析【详解】（1）设%的公比为4（4 0）,7 3,*S3=天%一%二，a1+4 q+a1/=一4,解得 0=7,4=1 ,2 3 2-a、q 2Sm=2-Q J,s+1-2=_ 1；=g(s,_ 2),又 s/2=-1 N 0.数列电-2 是公比为千的等比数列；2.(2023上福建龙岩高三校联考期中)己知数列。
满足=4,%M=2a“-2 +l.(1)证明：数列%-2 -1 是等比数列.【答案】(1)证明见解析【详解】(1)因 为%+i=2%-2 +1,所以1 2(+1)1 =2an 2 +1 2(+1)l=2(q 2n 1),ci 2(+1)1即 3-=2.cin 2 一 14 2x1 1 =10,所以包-2 -1 是公比为2 的等比数列.题型五等差数列性质【例 5】(2023上西藏拉萨高二校考期中)已知 6 是等差数列，%+%=8 0,则&+为 等 于()A.48 B.40 C.60 D.72【答案】B【详解】根据等差数列性质计算可得的+%=7 =8 0,解得=40;所以可得6-%+8=7=%=4故选：B反思总结：等差数列角标和性质：设 是等差数列，若 +掰=夕+4,则%+%,=3+4(特别的，当 +加=2夕，有%+金=2%),解题时注意角标和的关系；【例 6】(2023下河南驻马店高二校考阶段练习)设5“，1 分别是两个等差数列%,的前项和.若对一切正整数”,3“2 L、.”6Tn 一3+1 回 戊 41)121195A.B.C.D.-1917147【答案】B【详解】由等差数列的性质，可得11(4+Q“)。
6 _ 2 6 _ 4+%1 2 _SU 2 x 11 _ 2 2 _ 11b6.2b 6 -b +bn l（?+4 j -3x 11+1-342故选：B反思总结：在等差数列%,也,中，它们的前项和分别记为S ,q 则*=,注意角标需一致才能使用该公式；如果角标不一致，需还原等差数列前项和邑=Z 2+8（2,5 为常数）的基本形式解题例 7】（2 0 2 3上 甘肃临夏高二校联考期中）设等差数列 4 的前项和为S”，若 邑=9,=3 6,则%+%+9 =（）A.2 7 B.45 C.81 D.18【答案】B【详解】因为等差数列%,所以邑，S6S3,$9-$6成等差数列，可得2（风一闻）=风+邑一 5,即2（36-9）=9+5 9-%解得S g -45,即%+/+%=45.故选：B.反思总结：设等差数列%的公差为d,s“为其前项和，则 乂，s2 m-sm,s3 m-s2 m,s,a-邑 组成公差为加2 d 的等差数列;巩固训练1.（2 0 2 3上甘肃武威 高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）,为s ，TS“几+1,a.aAn,若 黄=大,则+“7等 于()Tn n+3 bx+b5 b2+b45A.2 B.-C.14【答案】D【详解】因为 ,a 为等差数列，吊?I&_ 1 r%亡|_ L 2%_ 5_-%工 G L3 1+4 a+厂 万 田 b3 )2 4 _ 双 _ 8 _ 4，已知等差数列%,但 前项和分别D.34即 +-=-bx+&b2+b4 4故选：D.,、，、S 7n+52.（20 23下黑龙江哈尔滨高二哈九中校考期中）等差数列 6,4 的前项和分别为S“7；,且 才=则 詈=（）砥A.7 B.8 C.9 D.10【答案】BS 7”+5【详解】户一7，味 口-3：.由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得，Q I。
29.x 29a”_ 2q5 _ 2 _ 529 _ 7x29+5_ 2 7 4+%X29-=29-3 2故选：B.3.（2023上黑龙江牡丹江高二牡丹江市第二高级中学校考期末）在等差数列 4 中，已知凡=1 0,岳 2=30,则$18=（）A.90 B.40 C.50 D.60【答案】D【详解】因为%为等差数列，所以$6,几-$6,儿-几 成等差数列，,4 =1 0,无 一&=2 0,故与-几=2（%-久）-56=30,/.S8=30+30=60.故选：D4.（2023上上海静安高二上海市新中高级中学校考期中）在等差数列 g 中，%=4,%=z，%=16,贝 U m=.【答案】10【详解】因为%为等差数列，所以由等差数列的性质的：2%=%+%，即：2冽=4+1 6,解得：冽=10.故答案为：105.（2023上上海浦东新高二上海市洋泾中学校考期中）已知等差数列%,若 为+%+9=2兀，则sin（出+%）=.【答案】_ 坐2【详解】已知等差数列 4 ,所 以%+%+9=3%=2兀27r 47r则，所 以+白8=2a5 =故答案为:4-6.（2023下湖北高二校联考阶段练习）已知两个等差数列 6 和 也 的前项和分别为4 和 纥，且【答案】O【详解】两个等差数列 4 和 低 的前项和分别为4 和 凡，且?=故设 An=kn（2n-V）,Bn=kn（n+3）,左 w 0,贝 I%=4 4 =左、9x 17 左 x 8x 15=3弘,4 二纭一 B?=kx 8x 11 左 x 7x 10=18t,aq 33k 11所以7 =7 7=，b g 18左 6故答案为：6题型六等比数列性质【例 8】（2022上黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考期中）在正项等比数列%中，若。
也8=2,则log2 a2+2 log?a6+log2 a10=.【答案】2【详解】在正项等比数列中，因为4 1=2,可得d=240=%=2，贝 I log22 +2 log2 a6+log2 al0=log2 a2a10+log2 a6=log2 2+log,2=1.故答案为：2.反思总结：设数列%是等比数列，若 m +n=p+q,则%其中%e N*.特别地，若m +n=2 p,则其 中%，0 e N*,解题时注意角标的关系；【例 9】（2023上湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习）设等比数列 4 的前“项和为S，若Sio=10,5,0=20,则 S30=（）A.20 B.30 C.35 D.40【答案】B【详解】由等比数列 6 的前项和的性质可得：sl0,s20-sl0,s30-s2 0也成等比数列，,-.（S2 0-S10）2=510X（530-520）,得（20-10）2 =10义区2 0）,解得 S330.故选：B.反思总结：公比为4的等比数列%的前项和为S“，数列 乂，s2 m-sm,s.m-s2 m,8优-风帆，组成公比为q（90-1）的等比数列，注意等差，等比都有这个性质，使用时注意前提 4 是等差还是等比。
巩固训练1.（2023下山东潍坊高二统考期末）已知 4为正项等比数列，若的+%=1网=6 4,则4=（）A.6 B.4 C.2 D.V2【答案】B【详解】46 4,又 0 0，解得6=8,又&2+6=1 0，则2=2,a：=16,4 0，/=4.故选：B.2.（2023上 甘肃甘南高二校考期中）已知S,为等比数列%的前/项和，若 率=3,则=（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【详解】设等比数列%的公比为1，因 为 券=1+3=3,所以炉=2,3。