《2022-2023学年高一数学人教A版2019选择性必修第二册试题4-4数学归纳法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年高一数学人教A版2019选择性必修第二册试题4-4数学归纳法（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4数学归纳法（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1.（2022 上海高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明-+-7+-1+-二+4）时、若已假设“=&（k 2,且 A为偶数）时等式成立，2 3 4 n-n+2 n+4 In）则还需利用假设再证（）A.=%+1时不等式成立 B.=%+2 时不等式成立C.=24+2时不等式成立 D.=2（Z+2）时不等式成立【答案】B【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出.【详解】若已假设=&（%2,k 为偶数）时命题为真，因为只能取偶数，所以还需要证明=Z+2成立.故选：B.2.（2022 上海高二专题练习）用数学归纳法证明l
2、+；+g+-y l）0J-,第一步应验证不 等 式（?）A.14 2 B.1H 1 22 2 3C.l+3 D.1 +W32 3 2 3 4【答案】B【分析】取=2 即可得到第一步应验证不等式.【详解】由题意得，当”=2 时，不等式为l+（+!l时，假设=女时n l n+2 H+3 3Z1命题成立，则当=攵+1时，左端增加的项为(?)1 1 1 CIllclI 2A-B-C-1-1-D-F-3k+3 +l k+3 +2 3%+3 3A+4-3左 +2 3 无+4 3(+l)【答案】D【分析】求出,=A时，不等式的左边，再求出当=A:+1时，不等式的左边,得到当=%+1时，即可推出不等式的左边比
3、=Z时增加的项.【详解】当=Z时，不等式左边等于 J7+h=+丁 二+J r M e N+,Z+l k+2 k+3 3k+l当=Z+1时，不等式左边等于丁二+丁二+1二+七 二+U ,k+2 k+3 左+4 3+3 34+4Illl2当“+1时，不等式的左边比=%时 增 加 而T而T而T正r十 百一而可故选：D5.(20 22全国高二课时练习)用数学归纳法证明：俨+22+,/+22+I2=%(2”2+1),第二步从到女+1,等式左边应添加的项是(?)A.(2+l)2 B.k2+l C.(k+)2+k2 D.(+l)2+22【答案】C【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分 别 写 出
4、 与 =%+1时的结论，即可得到答案.【详解】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于 =%,左边=产+2?+(A-1)2+3+(Z-1)2+22+12,=&+1 时，左边=F+2?+(A-I)?+公+(+1)2 +公+(Jt-I)2 +2?+F,比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+D2+k2,故选：C.二、多选题6.(20 22 全国高二专题练 习)已知一个命题p(A),Z=2(N*),若当=1,2,，10 0 0时，P(Z)成立,且当”=10 0 1时也成立，则下列判断中正确的是(?)A.p(A)对&=528 成立B.P(Z)对每一个自然数/都成立C.P(Z)对每一个正偶数女都成
5、立0 2/20D.p(k)对某些偶数可能不成立【答案】AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】由题意知P(A)对 =2,4,6,.2002成立，当左取其他值时不能确定P(A)是否成立，故选AD.故选：AD三、填空题7.(2022 全国高二专题练习)用数学归纳法证明3 佗 3,GN*)第一步应验证_ _ _ _ _ _ _.【答案】=3 时是否成立【分析】根据数学归纳法的方法与步骤即可得出答案.【详解】”的最小值为3,所以第一步验证=3 时是否成立.故答案为：=3 时是否成立8.(2022 全国高二专题练习)已知加2)=1+；+?+!(n),证明不等式式2)g时，12人，)
6、比人 2%)2 3 n 2多 的 项 数 是.【答案】2k【分析】由火)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出八26和 进 行 比 较 可 得 答 案【详解】观察犬)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，2fc)=l+.+,而y(2k z)=l +.+-J +CJ C +Ck Ck-2 3 2t 2*+l 2*+2 2A+2*因此负2%+/)比人2%)多了 2%项.故答案为：2k9.(2022全国高二课时练习)用数学归纳法证明。$广8$2 1 。$(2-)=孚2 1(匠)”时，当=氏+10寸，应 证 明 的 等 式 为.【答案】cosxcos2xL cosQ i x)cos(2*X)=
7、【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答.【详解】依题意，当”=k+1时，应证明的等式为：cos%cos 2x L cos(2*T)cos(2*x)=.2 ISinX故答案为：cosX cos 2xL cos(2*x)cos(2*X)=一/72 sin 10.(2022全国高二课时练习)与正整数 有关的数学命题，如果当=&(N,k)时该命题成立，则可推得当=A +1时该命题成立，那么为了推得 =5 时该命题不成立，需已知=时该命题不成立.【答案】6【分析】根据己知的命题，可以假设=5 时成立，可得到=6 时命题成立，故利用反证的思想可得答案.【详解】由题意
8、可知，=6 时，该命题不成立，那么=5 时该命题一定不成立，否则=5 时该命题成立，那么 =6 时 一，该命题也成立，故答案为：6四、解答题H.(2022.北京北师大实验中学高二阶段练习)在数列 叫，,中，q=2,=4,且册，b,册八成等差数列，bn,向，加 成等比数列(eN)求“2，%,%及外，4，%，由此猜测 q ,2 的通项公式，并证明你的结论；1 1 1 1(2)证明：-+7 .%+4 a2+b2 al,+bn 2【答案】生=6,%=12,q=20也=9也=16也=25,猜想：an-n(n+l),bl l=(n+l),证明见详解(2)证明见详解【分析】(1)根据题意可得：2b,=an+
9、an+l,a j=bnbn+l,分别令”=1,2,3求解，猜想：,=(+1)也=(+1)2,利用数学归纳法证明猜想；利 用Ur(+缶+1)3=4+4,a；=b3b4,可得4=20也=25猜想：=n(nl),=(n+l)204/20当=1,q=2,4=4成立假定当 二%(A1),ak=k(k+l),bk=(fc+l)2当九二 Z+1 时，2 4=%+l,即 2(Z+1)2=M左+l)+%+，则 6ZA+=(+l)(+2)+2=bkbk+即(Z+l)(A+2)2=(m)%W 则 鼠=(k+2 p成立，%=(+i)，d=(+)-1_M(?+1)+(/7+1)5+1)；2+1)7 1)女一总1 1-1
10、ax+1-a2+b21 2,-D.圾 的前2 项积为10 2(2+3)【分析】利用%的递推公式列出数列的前几项，即可猜想%=10”,再利用数学归纳法证明，即可判断A、B,再根据指数的运算法则及等比数列前项和公式计算即可判断C、D；【详解】解：因为 4=1 0,+l=,所以 az=。：=1。？，=(102)2=102x2=IO22,=(1 02x2)2=IO3x2x2=IO2,可猜想为=10叫 当 肛=1 时，4=1 0*成 立，假设N=&时 =1 0 ,所以%=%2=(I O=10*2=G也成立，所以4 =1 0*故A正确；4“+1，为奇数因为2=F、,便 柏，所 以 邑=旬=4,=1%,=2
11、21=4,=l ,故 邑=%-,故B正确；为偶数 2 212t all=102 102 102 IO2=1020+2+22+2 其中 20+2+2?+2T=牛=2 T，所 以 勺%9 =102 1021022 U r=IO2,故 C 正确;bl b2 b3 b4-b5-b6 b2n_t b2n=()(A)()(%-也“)=(WK)2 卜(Kr)2=附+2 3+*)2=(0?2=0”),故 D 错误；故选：ABC2.(2022 全国 高二课时练习)以下四个命题，其中满足“假设当=MZeN*M%)时命题成立，则当 =%+1时命题也成立，但不满足“当”=%(许是题中给定的的初始 值)时命题成立 的是
12、(?)A.2 2n+l(3)B.2+4+6+2=H2+I+2(1)C.凸边形的内角和为)=(-1)兀(3)D.凸 边形的对角线条数g()=4展1(4)【答案】BC【分析】A将初始值=3代入判断是否满足要求；B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在g(&)=笔 辿 成 立的条件下判断=&+1是否成立即可判断.【详解】A：2n2n+l(n 3),显然=3时有8 7,故当”为给定的初始值时命题成立，故不满足要求;B：假设当 =A时命题成立，即2+4+6+2%=/+k+2,当“=k+l时有2+4+6+2Z+2(A:+I)=Jt2 +左 +2+2(+1)=左2 +2%+1 +欠 +3=(+1)；!+(
13、+1)+2,故当=%+1时命题也成立，当=1时，等号左边为2,右边为1 +1+2=4,2 4,所以当 =1时命题不成立，故满足要求；C：假设当 =%时命题成立，p()=(-l),当=%+1 时有,f(k+l)=(k)+t=E,故当=k+1 时命题也成立，当 =3时内角和为兀命题不成立，故满足要求；D：假设当 =%时命题成立，即g(A)=业 二 义，当 =%+1时有/./.k(k-2 k2 2(k+1)(-)口才田 口而-FLg(R+l)=g(Z)+k-I=-+-1=-L ,故不满足要求.故选：BC.06/20二、填空题3.(2022全国高二课时练习)已知函数/(x)=Fr ,若/(X)=/(x
14、),W =(Z W).f,(X)=/(九(X)，猜想f,l(H 的 函 数 表 达 式 为.【答案】(x)=/.、Se N*)-nx【分析】根据数学归纳法证明即可.【详解】工(X)=/(=丁，l-xXV l l 2假设 =k,即力(X)=JjT成立，XXl-(+l)x2对于=Z+1也成立.所以一定有：E,(x)=/2(eN*)i-n xJQ故答案为：Z,()=/2 5N*)l-nx4.(2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期中)若函数“)=n2 sin(/e N),且4 =)+1),则 4+%+%l-a2O 22=.【答案】-4048【分析】由f()=s i嗒(e M),可得f(2 6 与/(
15、2 1)表达式，又4=小)+小+1),得 到 味,.，可 得:a2k,l+a2 t=(-l)k-8 k,即可解出原式.【详解】f ()=sin 彳(e N*),./(1)=1 J=O J=V?J(4)=0,可得/(2)=可2 sin Ax=QkW N*,f(2 k-1)=Q k-I)2Sin 俳”-=Q k-1)2(-1,.又an=/(n)+f(n+1),2t.1=/(2fc-l)+f(2k)=Q k-I)2(-l-,2t=(2)+(2+1)=(2 +1)2(-1)t.+a2k=(2k-1)2(-1-1+(2+1)2(-1)*=(-l)t 8 .贝 IJq+%+%+%P2=8 x-1 2-3
16、4.1009 1010-IOl 1=O48故答案为：-40485 y+*ITMN,叫,则f(k +D-f(k)=.【答案】2k+2k+2【分析】类比推理到下一项即可.【详 解 f(外=I-，+，一，+-2 3 4 2k-1 2k,八，、，Il l 1 1 I 1f(1)=1 1-1 1-1 ；-；-；-,2 3 4 22-1 2k 2(1)-1 2(fcl),1 1 1 1所 以 浜+1)T(Q=而Fr 而T2%+1-2%+2 故答案为:1 _ 12+l-2 26.(2022辽宁沈阳二中高二期中)证明不等式l+,+,+L+L+1 一“(eN*)2 3 4 2,-l 2当“=k+l时，不 等 式 左 边 增 加 的 项 算 是.假设 =k 时成立,【答案】2【分析】根据数学归纳法，结合不等式左边的特征判断增加的项数即可.【详解】当，Z =Z时，左边l+!+!+!+L +工，2 3 4 2-1当=%+1 时，iil+L+-+-+J -Z 4 Z _ 1 Z-JL而(2*+l-l)-(2*-l)2 I-2*=2*,所以n=Z+l 时不等式左边增加了 2*项.故答案为：2k7.(2022 湖南
