《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第22讲重难点拓展：二次函数综合之四种角度问题（解析版讲义）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第22讲重难点拓展：二次函数综合之四种角度问题（解析版讲义）（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第22讲重难点拓展：二次函数综合之四种角度问题题型一：角相等问题 题型二：二倍角关系问题题型三：两角和与差问题 题型四：特殊角问题1、角的数量关系处理的一般方法如下： （1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； （2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； （3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角2.特殊角问题处理的一般方法如下： （1）运用三角函数值； （2）遇45构造等腰直角三角形； （3）遇30，60构造等边三角形； （4）遇90构造直角三角形一、角相等问题对于二次函数中的角相等问题，首
2、选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。二、二倍角关系问题对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：等角的构造方法（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；（2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；（3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系；（4）利用角平分线的相关性质定理。
3、二倍角的构造方法如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了题型归纳题型一：角相等问题【例1】（23-24九年级下内蒙古赤峰阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为(1)请直接写出、三点坐标(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为(2)(3)或 【分析】（1）由抛物线，分别令，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐
4、标，根据顶点坐标可确定点的坐标；（2）设轴于点，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论；（3）确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，当时，得，解得：或，当时，得，抛物线的顶点为，即，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；（2）设轴于点，设，设直线的解析式为，过点，解得：，直线的解析式为，过点作轴的垂线，交直线于点，当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；（3）设直线的解析式为，过点，解得：，直线的解析式为，如图，设直线的解析式为，过点，直线的解析式为，联立，解得：或，此时点的坐标为；如图，设交于点，作射线交
5、于点，垂直平分，点是的中点，点的坐标是，即，设直线的解析式为，过点，直线的解析式为，直线：与直线：交于点，联立，解得：，设直线的解析式为，过点，解得：，直线的解析式为，联立，解得：或，此时点的坐标为；综上所述，点的坐标为或【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键【变式1-1】（23-24九年级下湖南永州开学考试）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于
6、，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接(1)求，三点的坐标；(2)若点是轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标；(3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)，(2)或或或(3)或【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，当时，从而得图象与轴交于点；（2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可；（3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可【详解】（1）解：当时，即，解得：图象与轴交于点，当时，图象与轴交于点，（2）解：，当，则点P的坐标为或；当时，点P的坐标为；当时，设点P的坐标为，解得，点P
7、的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或；（3）解：当点在上方时，即轴，点与点关于抛物线的对称轴对称，抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线；，；当点在下方时，设交轴于点，则，在中，解得：，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，联立，得，解得：舍去，综上所述，点的坐标为或；【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键【变式1-2】（2024广东一模）综合应用如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接(1)求A，B，C三
8、点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由【答案】(1)，(2)存在，点的坐标为或(3)的值是定值；【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，当时，从而得图象与轴交于点，利用待定系数法即可求解直线的函数表达式；（2）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可；（3）由（
9、）得抛物线的对称轴为直线，从而，设且，进而利用待定系数法求得直线和直线的解析式，从而得，于是即可得【详解】（1）解：当时，即，解得：图象与轴交于点，当时，图象与轴交于点，设直线为：，把，代入得，解得，直线的函数表达式为；（2）解：存在，理由如下：当点在上方时，即轴，点与点关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线；，；当点在下方时，设交轴于点，则，在中，解得：，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，联立，得，解得：舍去，综上所述，点的坐标为或；（3）解：存在，的值为定值，理由如下：由得抛物线的对称轴为直线，设且，设直线的解析式为，将和点的坐标代入得：，解得：，直线的解析式为，当时，同理，
10、直线的解析式为：，当时，的值是定值，【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的应用以及勾股定理，熟练掌握二次函数的图像及性质以及勾股定理是解题的关键【变式1-3】（2024山东日照二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点(1)求抛物线的解析式；(2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴，当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，
11、若，求点的坐标【答案】(1)(2)，且；或或；【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，进而求解即可；根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可；过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解【详解】（1）抛物线过原点，解得抛物线的解析式为；（2）抛物线；抛物线开口向下，对称轴为当时，y随x的增大而增大，是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升；，矩形内部的图象（包括边界）的最
12、高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4当点M的纵坐标为时，解得；当点M的纵坐标为时，解得，综上所述，或或；过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，解得，为等腰直角三角形， ，令点，则，设直线解析式为，则，解得，将点Q代入可得：，解得：，点P在y轴下方，P点的坐标为【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键 题型二：二倍角关系问题【例2】（2024西藏二模）已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式；(2)如图（
13、甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标；(3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）用待定系数法求解即可；（1）求出直线解析式，设点P坐标为：，则点E坐标为，当是以为底的等腰三角形时，点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为3，由此求出x即可；（3）如图所示，取点，连，在上取点F，使得，连并延长交抛物线于点M，利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明，再分别用待定系数法依次求出直线和直线的解析式，求出直线与抛物线交点M的坐标，再由对称性求出另一点M的坐标即可【详解】（1）解：由题意，得，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：由题意点C坐标为，由抛物线的对称性，点B的横坐标为，则B点的坐标为：，设直线解析式为：，把，代入，得，解得：，直线解析式为：，设点P坐标为：，则点E坐标为，当是以为底的等腰三角形时，点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为
