《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第20讲 解直角三角形（解析版讲义）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（华东师大版）第20讲 解直角三角形（解析版讲义）（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第20讲 解直角三角形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1.理解直角三角形中，除直角外其它五个元素之间的关系，能熟练运用这些关系解直角三角形；2.掌握解直角三角形的两种情况.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：A、B2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）3）两锐角之间的关系：AB904）边角之间的关系：si
2、n A= = ac ，sin B= = bc cos A= = tan A= = 解直角三角形常见类型及方法：已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c,a) B=90A两直角边(如a,b) B=90A一边和一锐角斜边和一锐角（如c，A）B=90A 一直角边和一锐角（如a，A）B=90A 另一直角边和一锐角（如b，A）B=90A 解直角三角形的相关的名词、术语：1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角叫做方向角3
3、）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，i=tan坡度越大，角越大，坡面越陡解直角三角形实际应用的一般步骤：1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解【考点一】直角三角形中直接解直角三角形1（23-24九年级上山东济南阶段练习）如图，直角中，是边上中点，已知，(1)求的长；(2)的值【答案】(1)(2)【分析】本题考
4、查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的面积，难度适中（2）中准确作出辅助线求出的长是解题的关键（1）根据正弦函数的定义设未知数，表示，由勾股定理求出（含未知数），求解，即可得到长度；（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再过作于根据面积公式求出，然后在直角中利用正弦函数的定义即可求出的值【详解】（1）解：(1)直角中，设，则，由勾股定理得，；（2）直角中，是边上的中点，过作于，2（23-24九年级上山东济南阶段练习）已知在中，分别为所对的边，由下列条件解直角三角形(1)已知，求(2)已知，求【答案】(1)(2)【分析
5、】本题主要考查三角函数的定义，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键（1）由，即可得出答案；（2）由，代入数值计算即可得出答案【详解】（1）解：，；（2）解：，3（23-24九年级上吉林松原期末）如图，在中，为上一点，而且，求的长【答案】【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，在中，由，得出，由勾股定理得出，在中，求出，最后由计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键【详解】解：在中，即，在中，4（23-24九年级上安徽合肥阶段练习）如图所示，在中，D是的中点，于点E，求的长【答案】【分析】本题考查了三角函数值在直角三角形中的运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，
6、求得的长是解题的关键首先根据，代入求出，然后求出，利用勾股定理求出，证明出，得到，代数求解即可【详解】解：，解得D是的中点，即解得【考点二】构造直角三角形解直角三角形5（23-24九年级上黑龙江哈尔滨阶段练习）在中，若，则 【答案】1或13【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论：当在的外部时，如图：，设，则：，；当在的内部时，如图：同法可得：，；综上：1或13；故答案为：1或13【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解6（21-22九年级上黑龙江牡丹江期末）ABC中，B
7、为锐角，cosB，AB，AC2，则ACB的度数为 【答案】60或120【分析】根据题意，由于的长没有确定，故分类讨论，分是锐角和钝角两种情况画出图形，解直角三角形即可【详解】解：如图，当是锐角时，过点作于点， cosB，AB，AC2，如图，当是钝角时，过点作的延长线于点， cosB，AB，AC2，故答案为：或【点睛】本题考查了解斜三角形，构造直角三角形并分类讨论是解题的关键7（23-24九年级上安徽六安阶段练习）如图，在中，(1)求的值(2)求的面积（结果保留根号）【答案】(1)(2)的面积为【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形（1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所
8、给条件直接求解即可；（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可【详解】（1）解：如图，过点作于点在中，在中，；（2）解：由（1）知：在中，8（2021河南许昌一模）如图，AD是ABC的高，求ABC的周长【答案】【分析】根据，求出，根据，求出，再根据勾股定理求出即可求周长【详解】解：在中，在中，即，ABC的周长为AB+AC+BD+CD=【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练运用三角函数知识解直角三角形【考点三】网格中解直角三角形9（22-23九年级上山东淄博阶段练习）如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（）ABCD【答案】B【分析】连接，由勾股定理的逆定理
9、判断为直角三角形，然后根据余弦的定义求解【详解】解：如图所示，连接，设正方形网格中小正方形的边长为个单位长度，为直角三角形，故选：B【点睛】本题考查解直角三角形，余弦的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及余弦的定义是解题的关键10（2023四川广元二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（）ABCD【答案】A【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出，由结合可得出，设等边三角形的边长为a，则，利用勾股定理可得出的长，由三角函数定义即可得出答案【详解】解：连接，如图所示： 在中，同理得：又，设等边三
10、角形的边长为a，则，故选：A【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键11（23-24九年级上吉林长春阶段练习）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、点的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹(1)在图中找一个格点，使得；(2)在图中找点，作使得；(3)在图中找点，作使得【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）根据网格线的特点作图，找到点即可；（2）根据网格线的特点作等腰直角三角形即可；（3）根据网格线的特点作图即可【详解】（1）
11、解：如图，点即为所求，（2）如图，即为所求，（3）如图，即为所求，【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点是解题的关键【考点四】坐标系中解直角三角形12（23-24九年级上河北邢台期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知(1)求k的值(2)连接，求的面积【答案】(1)(2)【分析】（1）过点A作轴于点E，设，根据三角函数的定义得到，再将代入一次函数解析式得到具体坐标，代入反比例函数解析式中求出k值即可；（2）联立两函数解析式，求出点B坐标，再利用一次函数求出点C坐标，利用三角形面积公式分两部分计算即可【详解】（1）解：如图，过
12、点A作轴于点E设，在中，点A的坐标为，代入一次函数中，得，解得在反比例函数的图像上，（2）过点B作轴于点F，联立方程组，解得：，点B的坐标为，在中，当时，故点坐标为，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握根据函数解析式列出方程组，求出交点的坐标13（23-24九年级上黑龙江哈尔滨开学考试）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B，(1)求直线的解析式；(2)若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求出，再利用待定系数法求的解析式；（2）过点C作轴于点H，根据的面积求出，再根据一次函数的性质求出，则【详解】（1）解：，点B在y轴正半轴上，点A在x轴的负半轴上，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为，（2）解：如图，过点C作轴于点H，则，点C的纵坐标为5，点C在直线上，将代入，得，解得点C的横坐标为4，即，【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形14（22-23九年级上河北保定期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，B两点，与x轴交于点D，连接(1)求反比例函数的解析式(2)求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）将点代入得到A点坐标，代入即可得到答案；（2）联立，得到B点坐标，即可得到答案；【详解】（1）解：一次函数的图像与反比
