《高中数学导数满分通关专题12 导数中隐零点的应用(原卷版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学导数满分通关专题12 导数中隐零点的应用(原卷版)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题12导数中隐零点的应用 【方法总结】利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法用显性的代数表达的(f(x)0是超越形式)，称之为“隐零点”对于隐零点问题，常常涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧用隐零点处理问题时，先证明函数f(x)在某区上单调，然后用零点存在性定理说明只有一个零点此时设出零点x0，则f(x)0的根为x0，即有f(x0)0注意确定x0的合适范围，如果含参x0的范围往往和参数a的范围有关这时就可以把
2、超越式用代数式表示，同时根据x0的范围可进行适当的放缩从而问题得以解决基本解决思路是：形式上虚设，运算上代换，数值上估算用隐零点可解决导数压轴题中的不等式证明、恒成立能成立等问题隐零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x0)0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围(2)以零点为分界点，说明导函数f(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小注意：确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到
3、等等至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现考点一不等式证明中的“隐零点”【例题选讲】例1(2015全国)设函数f(x)e2xalnx(1)讨论f(x)的导函数f(x)的零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln例2(2013全国)设函数f(x)exln(xm)(1)若x0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；(2
4、)当m2时，求证：f(x)0例3已知函数f(x)xexa(xlnx)(1)讨论f(x)极值点的个数；(2)若x0是f(x)的一个极小值点，且f(x0)0，证明：f(x0)2(x0x)例4已知函数f(x)aexsinxx，x0，(1)证明：当a1时，函数f(x)有唯一的极大值点；(2)当2a0时，证明：f(x)2已知函数f(x)extlnx(1)若x1是f(x)的极值点，求t的值，并讨论f(x)的单调性；(2)当t2时，证明：f(x)03已知函数faex2x，aR(1)求函数f的极值；(2)当a1时，证明：flnx2x24已知函数f(x)bxlnx，其中a，bR(1)若函数f(x)在点(e，f(
5、e)处的切线方程为yxe，求a，b的值；(2)当b1时，f(x)1对任意x恒成立，证明：a5已知函数f(x)exalnx(其中e2.718 28，是自然对数的底数)(1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)求证：当a1时，f(x)e1考点二不等式恒成立与存在性中的“隐零点”【例题选讲】例1已知函数f(x)axxlnx(aR)(1)若函数f(x)在区间e，)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a1且kZ时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值例2(2020新高考)已知函数f(x)aex1lnxlna(1)当ae时，求曲线yf(x)在点(1，f(
6、1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)1，求a的取值范围例3已知函数f(x)lnxkx(kR)，g(x)x(ex2)(1)若f(x)有唯一零点，求k的取值范围；(2)若g(x)f(x)1恒成立，求k的取值范围例4已知f(x)asinx，g(x)lnx，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数(1)若00，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值例5已知函数f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a，其中a0(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解【对点训
7、练】1已知函数fxlnx(1)求曲线yf在点处的切线方程；(2)若当x1时，fxk恒成立，求正整数k的最大值2(2012全国)设函数f(x)exax2(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值3已知函数f(x)(xa)ex(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a2时，设函数g(x)f(x)lnxxb，bZ，若g(x)0对任意的x恒成立，求b的最小值4已知函数f(x)xlnx(1)求f(x)的最大值；(2)若f(x)exbx1恒成立，求实数b的取值范围5设函数f(x)exax，aR(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；(2)若对任意的x0，)均有2f(x)3x2a2，求a的取值范围
